Basic Operations with Decimals

Ano ba ang tinatawag na decimals?

Ang mga bilang na tinatawag na decimals ay yaong mga numerong mas maliit sa isang buo. Ito ay mga bilang na nasa kanang bahagi ng decimal point o period o tuldok. Ang numerong decimals ay praksyon na may denominator na power of ten ( 10, 100, 1000, 10,000. etc)

Halimbawa ng mga decimals:

1) 0.003
2) 0.50
3) 0.123
4) 23.02
5) 1.52335

A. ADDITION ng DECIMAL NUMBERS

(image from http://www.coolmath.com)

Madali lamang ang pag-a ADD ng mga decimal numbers. Tandaan lamang na pagtapat-tapatin ang decimal point ( o period) at pagkatapos ay maaari na itong pag-ADD -in.

Halimbawa: ADD
2.02 + 0.003 + 21.0021 + 4.125 =

  2.02
    .003
21.0021
 4.125
27.1501

B. SUBTRACTION ng DECIMAL NUMBERS

(image from http://www.enchantedlearning.com)

Tulad ng addition, dapat lamang na ipagtapat ang mga decimal point bago ibawas ang maliit na bilang sa mas malaking bilang.

Halimbawa: SUBTRACTION

205.0023 - 17.05

205.0023
    7.051
197.9513

C. MULTIPLICATION ng DECIMALS NUMBERS

Sa pagmumultiply ng mga decimals, tandaan lamang na bilangin ang mga puwesto ng mga bilang sa kanan ng decimal point o ang tinatawag na decimal places.

Halimbawa:
Ilang decimal places ang numerong  23.0012?  Mula sa decimal point, may apat na decimal places ang numerong ito.

Ilang decimal places ang numerong 9.023? Ito ay may tatlong decimal places.

MULTIPLY 23.0012 by 9.023.

1) Just do the standard multiplication procedure ==>   2075398276
Saan ilalagay ang decimal point?
I-ADD ang bilang ng decimal places ng 23.0012 ( 4 o apat) at bilang ng decimal places ng 9.023 ( 3 o tatlo)
Ang total ng bilang ng decimal places ng 2 numerong minultiply ay 4 + 3 = 7

Dahil 7 ang bilang ng decimal places, mula sa kanan, bumilang ng 7 pakaliwa at doon ilagay ang decimal point.

Kaya ang 2075398276 ay magiging 207.5398276

D. DIVISION ng DECIMALS

Halimbawa:
DIVIDE  23.05  by 4.1

1) Kung ang divisor (ang bilang na magdi-divide) ay hindi buong bilang (whole number), ilipat ang decimal point hanggang maging whole number ito.

Sa ating halimbawa, ang divisor ay 4.1
Dahil hindi ito whole number, ililipat natin ang decimal point hanggang maging whole number ito.

4.1 ==>  41

2) Ilipat din ang decimal point ng dividend na kaparehong bilang ng paglipat ng decimal point ng divisor.

Dahil isang decimal place lang natin inilipat ang decimal point ng 4.1, isang decimal place din natin ililipat ang decimal point ng dividend.

23.05 ==> 230.5

3) Mag-divide ng nakasanayan na.

230.5 divided by 41 = 5.62195122 ( ang haba ng decimal places ay base kung ilan ang hinihingi ng tanong)

4) Para makasiguro kung tama ang sagot, i-multiply ang quotient sa divisor. Kapag nakuha ang dividend, tama ang sagot.

5.62195122 x 41 = 230.5

Word Problem 1 - Profit

Bago natin masagot ang isang word problem sa Math, nararapat lamang na naiintindihan natin ang bawat salitang Ingles na nakapaloob sa tanong. Kung hindi, tiyak na mali ang ating sagot.

Juan is making lanterns  for Christmas. Each lantern costs P225 to make. If he sells the lanterns for P400 each, how many will he have to sell to make a profit of P7,000?


Filipino translation:


Si Juan ay gumawa ng parol para sa Pasko. Ang bawat parol ay may gastos na P225 para magawa. Kung ibebenta niya ang parol sa halagang P400 bawat isa, ilan ang dapat niyang maipagbili upang makatubo ng P7,000?

Ang pormula sa pagkuha ng profit ay:

Presyo - Gastos = Tubo

Sa ating problema,

Ang presyo ng parol = P400 bawat isa
Ang gastos ng parol = P225 bawat isa
Ang tubo ay 400 - 225 = P175 bawat isa

Upang makuha kung ilang parol ang dapat ibenta para makatubo ng P7,000 -
i-divide ang 7,000 sa 175 ==> 7,000 / 175 = 40 parol ang dapat na maipagbili

Basic Operations With Exponents

http://www.solving-math-problems.com/exponent-rules-distributive.html

Ang ang exponent?

Ang exponent ay ang pinaikling representasyon kung makailan mong i-mumultiply ang magkatulad na bilang o numero. Ang exponent ay ang bilang na nakikita sa itaas ng isang numero.

Halimbawa:

Ang bilang na nasa itaas ng 6 ay ang exponent na 4. Ito ay binabasa bilang, six (6) raised to the power of four (4). Ang 6 ay tinatawag na base at power o exponent naman ang 4.

Note:  Sa mga sumusunod na paglalarawan, ang simbolong "^" ay ipagkahulugan na "raised to the power of ". Ginamit ko ito upang madaling maisulat ang exponent.

Halimbawa:

Ang ibig sabihin ng  5^3 = ay 5, raised to the power of 3 ( o 5 cubed)

Ilang mga basic rules ng exponent:

Paglalarawan:

Simplify    (3 ^ 3) ( 3 ^ 5) = ?

Dahil ang 3^3 ay ( 3 x 3 x 3)  at 3^5 ay (3 x 3 x 3 x 3 x 3);
ang (3^3) (3^5) = 3^8

Sa multiplication ng exponent, pansinin na ina-ADD natin ang mga exponent ng may magkatulad na base.
Sa tuwirang salita,

(A^n) (A^m) = A ^n + m

Tandaan: Ang rule na ito ay tama lamang kung MAGKATULAD ang BASE ng mga exponents at tayo ay nagmu-MULTIPLY.

MALI ITO:    (3^3) ( 5^2) = 15^5 = 759,375
dahil ang  3^3 ay 3 x 3 x 3 = 27; ang 5^2 = 5 x 5 = 25  at 27 x 25 = 675 lamang at hindi 759,375.

Mga Halimbawa:

1)  ( 3^ 2) ( 3^4) = 3^ 2 + 4 = 3^6 = 729

2)   (x^ 1/2) (x^ 1/3) ( x^ 1/4) = x ^ 1/2 + 1/3 + 1/4 = x ^ 13/12  or x ^ 1 1/12

Simplify:    ( 3^3)^2 = ?

Ang ibig sabihin ng (3^3)^2 ay  (3^3) (3^3) = ( 3 x 3 x 3 ) ( 3 x 3 x 3 ) = 3^6

Samakatuwid,

( B ^ n ) ^ m =  B ^ n * m  or B^nm ( ang * ay simbolo rin ng multiplication)


Ang rule na ito ay tama kung tayo ay nagmu-MULTIPLY at magkapareho ang BASE ng exponent.


Mali ito:  (3^2)^2  (4^2)^2 = (3^4) (4^4) = 12^8

Halaw sa  http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm

Itutuloy

Multiplication and Division of Integers

http://mhariati.blogspot.com/2010/11/combined-operations-of-integers.html

Kung marunong kang mag-multiply at mag-divide, madali lamang ang multiplication at division ng integers. Dapat lamang tandaan ang tuntunin para sa SIGN ng resulta (negative o positive)

1) Positive ang sign ng product o quotient ng 2 intergers na minultiply o dinivide kung ang kanilang mga sign ay magkatulad o magkapareho:

Halimbawa:

a)  -B * -C = D or +D
b) F / G = H or +H

2) Kung ang ang mga integers ay hindi magkatulad ang mga sign, NEGATIVE sign ang product o quotient nito.

Halimbawa:
a)  T * - S = -U
b) -M / N  = O

3) Kung maraming bilang ang mga integers na imumultiply at ididivide at magkakaiba ang mga sign nito, dapat lang tandaan ito:

a) Kung ang bilang ng mga NEGATIVE integers ay ODD ( 1, 3, 5, 7, ,,,), ang sign ng product o quotient ay NEGATIVE.

Halimbawa:

-A * B * -C * -D * E * F = - G
Ang bilang ng mga negative intergers ( -A, -C, -D) ay 3 o isang ODD number kaya negative ang sign ng product.

b) Kung ang bilang ng mga NEGATIVE integers ay EVEN ( 2,4, 6, 8,...) and sign ng product o quotient ay POSITIVE.

Halimbawa:

-X / Y / - Z / -W / T / -U = S
Ang bilang ng mga negative integers (-X, -Z, -W, -U) ay apat o isang EVEN number kaya positive ang sign ng quotient.

ADDITION & SUBTRACTION OF INTEGERS

http://mathdaily.wordpress.com/tag/integers/

Paano ba mag-ADD at mag-SUBTRACT ng INTEGERS?
Bago sagutin, dapat nating malaman kung ano ang mga numerong Integers. Ang mga intergers ay mga pamilang na bilang (counting numbers, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ...) na maaaring may simbolong "plus" o positibo (+) o negatibo (-). Ang mga numerong walang simbolo ay pinalalagay na positibong integer (positive integer). Ang mga integers ay hango sa number lines kung saan ay mga bilang sa kaliwa ng zero ay may negatibong simbolo at ang nasa kanan ng zero ay may positibong simbolo.

ADDITION of INTEGER  (Pagdadagdag ng Integer)


A) Mga bilang na may parehong simbolo o sign = idagdag lamang ito nang tulad na nakagawian na. Pagkatapos ay ilagay ang simbolo nito.

Halimbawa:

1)   5  + 12 = 17
2) -25 + (-12) =  - 37

B) Mga bilang na may parehong simbolo o sign = magsasamahin ang may magkaparehong simbolo. Kunin ang bilang na mas malaki at idagdag dito ang bilang ng maliit. Ilagay ang simbolo ng may malaking bilang.

Halimbawa:

1)  -35 + 47 = ?
Ang malaking bilang ay 47, maliit na bilang ang - 35
Idagdag ang 47 sa - 35 ===>  47 + (-35) = 12

2) 62 + ( - 105 ) ==>  - 105 + 62 =  - 43

3)  24 + (-7 ) + ( -65 ) + 35 = =>   24 + 35 = 59 ..... -7 + - 65 = -72
  -72 + 59 = 13

SUBTRACTION OF INTEGER (Pagbabawas ng Integer)


Iisa lang ang rule o panuntunan sa pagbabawas ng integer:

Idagdag ang kabaliktaran o opposite ng pangalawang bilang. Ilagay ang simbolo ng mas malaking bilang sa dalawa.


Halimbawa:

1)  -352  -  541 = ?
Ang opposite ng 541 ay - 541. Samakatuwid, -352 + -541 = -593

2) 651 -  758 = ?
Ang opposite ng 758 ay - 758. Samakatuwid, -758 + 651 = -107

3) -75  -  ( - 36 ) = ?
Ang opposite ng -36 ay 36. Samakatuwid, -75 + 36 = -39

Mapapansin natin, na ang subtraction ay naging addition.

Diskarte sa Pagsagot ng mga Math Word Problems

Marami ang nagtatanong kung paano masasagot ng tama ang mga word problems sa Math. Isa kasi ito sa kinatatakutan ng mga estudyante. Kadalasan kasi ay mas mataas ang puntos nito kaysa sa mga ordinaryong tanong. Tama lang ang gayon dahil talagang paglalaanan mo ito ng pag-iisip at tamang konsepto. Pangalawa, ikaw pa mismo ang magtatakda ng iyong equation. Kapag mali ang naiporma mong equation, tiyak na mali ang iyong sagot.

Pag-aaral lang nang husto at praktis ang nakikita kong paraan upang masagot nang wasto ang mga problemang nasusulat sa salita. Ang maraming praktis ay nakakatulong upang maging pamilyar sa iyo ang tipo ng mga problema. Kapag nakita mo ang lahat ng diskarte para ito sagutin, magiging madali na ang pagsagot nito.

Ang nasa ibaba ang ilang diskarte o tips para masagot ng tama ang isang word problem:

1. Basahing mabuti ang problema lalo na ang mga detalye. (Read and understand the problem carefully especially the details)
2. Itampok ang hinihingi ng problema.(State the problem)
 Ano ba ang hinihingi o hinahanap ng problema? Halimbawa, kung ang hinahanap ay area ng isang sukat ng lote o lugar, alamin ang mga detalye at pormula kung paano ito makukuha.
3. Ilista ang mga detalyeng nakapaloob na sa tanong o yaong tinatawag na given.
4. Magtalaga ng letra o titik sa hinahanap o unknown.
5. I-set up ang equation.
6. Sagutin ang equation.
7. Bilisan ang pagsulat lalo na't konting oras lamang ang nakalaan.
8. Kung hindi natapos ang computation, huwag itong burahin o lagyan ng ekis. Ito ay magkakaroon din ng puntos kahit hindi natapos basta't nakita ng gurong nagpursige at tama ang paraan mo sa pagsagot.
9. Pag-aralan ang tamang pagsagot nito kapag ibinalik na ng guro ang iyong papel na may marka upang masagot na ito ng tama sa susunod na pagsusulit.
10. Magpaturo sa kamag-aral o magulang na bihasa sa pagsagot ng word problems.
11. Mag-praktis at mag-praktis.

Angle of Elevation

The angle of elevation is the angle between the horizontal and the line of sight to an object above the horizontal. Ang angulo ng elevation ay ang nalikhang anggulo sa pagitan ng linyang pahalang at ang linyang nabuo mula sa ibabaw ng pahalang na linya patungo kung saan nakapokus o nakatingin ang isang nagmamasid.

Tingnan ang iba't ibang imahe ng anggulo ng elevation upang maunawaan ito nang husto.

http://www.icoachmath.com/math_dictionary/angle_of_elevation.html

http://etc.usf.edu/clipart/36700/36711/angelev_36711.htm

http://www.intmath.com/trigonometric-functions/4-right-triangle-applications.php

Ang angle of elevation gayundin ang angle of depression ay kalimitang ginagamit sa pag-aaral ng aplikasyon ng right triangle. Ang pag-unawa sa Pythagorean theorem  ( c^2 = a^2 + b^2) ay makakatulong nang husto upang masagot ang mga problema sa Algebra at ang sine, cosine at tangent relationship  naman para sa trigonometry.

Sa Trigonometry, upang mahanap ang angle of elevation, dapat nating matutunan kung anu-ano ang parte ng ating right triangle.  Pero bago ito, alamin muna natin kung ano ang right triangle.

What is a right triangle?

A right triangle has one right angle and two acute angles. The side opposite the right angle is the hypotenuse and is the longest side. The other sides are called legs. If one of the acute angles is chosen the leg forming one side of the angle is called the adjacent leg. The leg opposite from the chosen angle is called the opposite leg.

Ang isang right triangle ay may isang right angle ( 90 degrees angle) at dalawang acute angle (less than 90 degrees angle). Hypotenuse ang tawag sa pinakamahabang gilid (sides) katapat ng right angle.  Ang iba pang mga panig (horizantal and vertical line or side) ay tinatawag na mga binti o legs. Ang tawag sa binti/side/gilid nang piniling acute angle ay tinatawag na Adjacent leg samantalang Opposite leg naman ang tawag sa binti na katapat ng napiling acute angle.

Tingnan ang imahe sa ibaba (Image from https://www.andrews.edu/~rwright/Precalculus-RLW/Text/04-03.html) upang lubos na maunawaan.

How to find the angle in a right-angled triangle

Makukuha natin ang sukat ng angle sa isang right triangle kung gagamitin natin ang alinman sa 6 basic trigonometric functions. Ito ay ang mga sumusunod: 

1. Sine: sinθ=opp/hyp

2. Cosine: cosθ=adj/hyp

3. Tangent: tanθ=opp/adj

4. Cosecant: cscθ=hyp/opp

5. Secant: secθ=hyp/adj

6. Cotangent: cotθ=adj/opp

kung saan,  opp = length of the opposite leg, adj = length of the adjacent leg, and hyp = length of the hypotenuse.

Sa ngayon, gagamitin lang natin ang mga functions na ito upang mahanap ang angle of elevation ng isang problem.

Halimbawa:

Find the angle of elevation of the plane from point A on the ground. 

(Image from mathisfun.com)

May apat na hakbang upangg masagot ang problema.

Step 1 Hanapin ang 2 sides/gilid na alam na natin - mula sa Opposite, Adjacent and Hypotenuse.

Step 2  Gamitin ang SOHCAHTOA upang magdesisyon kung alin sa Sine, Cosine or Tangent ang gagamitin sa problema.

Step 3 Para sa  Sine kalkulahin ang Opposite/Hypotenuse, para sa Cosine kalkulahin ang  Adjacent/Hypotenuse o para sa  Tangent kalkulahin ang Opposite/Adjacent.

Step 4 Hanapin ang  angle sa iyong calculator, gamit ang isa man sa sin-1 (Inverse sine ) , cos-1 (Inverse cosine)  or tan-1 (Inverse tangent).

Para sa ating problema:

Step 1: Opposite = 300; Adjeacent = 400

Step 2: Dahil alam na natin ang opposite at adjacent side, Tangent function ang ating gagamitin (TOA).

Step 3: Kalkulahin ang opposite/adjacent = 300/400 = 0.75

Step 4: Hanapin ang angle sa inyong calculaor gamit ang tan-1 (Inverse tangent)

tan θ = opp/adj = 300/400 = 0.75

θ = tan-1 (0.75) = 36.9° (correct to 1 decimal place)

Angle of Depression

Angle of depression is the angle between a horizontal line and the line joining the observer's eye to some object beneath the horizontal line.

Ang angle of depression o anggulo ng depression ay angle o anggulo na nalikha sa pagitan ng isang horizontal line o pahalang na linya at ang linyang nalikha ng mata ng isang tagamasid sa ilalim ng pahalang na linya.

Mga imahe kung paano ipinakikita ang angle of depression:

http://gta310.blogspot.com/2010/05/review_5412.html

http://regentsprep.org/REgents/math/ALGEBRA/AT2/LtrigW.htm

Mixture Problem in Mathematics

(Mula sa http://www.purplemath.com/modules/mixture.htm ang halimbawa)


Ang mixture problem sa Math ay itinuturing na mahirap na sagutin ng mga mag-aaral. Ngunit kung pag-aaralan lamang mabuti at maraming pagsasanay, napakadali ng problemang ito. Tunghayan ang halimbawa sa ibaba.


Suppose you work in a lab. You need a 15% acid solution for a certain test, but your supplier only ships a 10% solution and a 30% solution. Rather than pay the hefty surcharge to have the supplier make a 15% solution, you decide to mix 10% solution with 30%solution, to make your own 15% solution. You need 10 liters of the 15% acid solution. How many liters of 10% solution and 30% solution should you use?

Let x stand for the number of liters of 10% solution, and let y stand for the number of liters of 30%solution. (The labeling of variables is, in this case, very important, because "x" and "y" are not at all suggestive of what they stand for. If we don't label, we won't be able to interpret our answer in the end.) For mixture problems, it is often very helpful to do a grid:


Nakatutulong na mabuti ang pagsasaayos ng mga elemento sa isang grid tulad nito:

	liters sol'n	percent acid	total liters acid
10% sol'n	x	0.10	0.10x
30% sol'n	y	0.30	0.30y
mixture	x + y = 10	0.15	(0.15)(10) = 1.5

Since x + y = 10, then x = 10 – y. Using this, we can substitute for x in our grid, and eliminate one of the variables:   Copyright © Elizabeth Stapel 1999-2011 All Rights Reserved

	liters sol'n	percent acid	liters acid
10% sol'n	10 – y	0.10	0.10(10 – y)
30% sol'n	y	0.30	0.30y
mixture	x + y = 10	0.15	(0.15)(10) = 1.5

When the problem is set up like this, you can usually use the last column to write your equation: The liters of acid from the 10% solution, plus the liters of acid in the 30% solution, add up to the liters of acid in the 15% solution. Then:

0.10(10 – y) + 0.30y = 1.5  1 – 0.10y + 0.30y = 1.5  1 + 0.20y = 1.5  0.20y = 0.5  y = ^0.5/_0.20 = 2.5

Then we need 2.5 liters of the 30% solution, and x = 10 – y = 10 – 2.5 = 7.5 liters of the 10%solution. (If you think about it, this makes sense. Fifteen percent is closer to 10% than to 30%, so we ought to need more 10% solution in our mix.)

Addition & Subtraction in Scientific Notation

Addition and Subtraction (Dagdagan at Bawasan)
When adding or subtracting numbers in scientific notation, their powers of 10 must be equal. If the powers are not equal, then you must first convert the numbers so that they all have the same power of 10.

Example: (6.7 x 10⁹) + (4.2 x 10⁹) = (6.7 + 4.2) x 10⁹ = 10.9 x 10⁹ = 1.09 x 10¹⁰. (Note that the last step is necessary in order to put the answer in scientific notation.) Example: (4 x 10⁸) - (3 x 10⁶) = (4 x 10⁸) - (0.03 x 10⁸) = (4 - 0.03) x 10⁸ = 3.97 x 10⁸.

Kung magdadagdag at magbabawas sa scientific notation, dapat lamang na magkatulad ang kanilang power. Kung hindi, nararapat lamang na ihayag ito sa magkaparehong power.

Halimbawa

1)  ( 3.2 x 10^3) +  ( 0.23 x 10^5) = ?

Dahil magkaiba ang kanilang power 3 at 5, hindi kaagad-agad itong maisusuma. Dapat ay parehong 3 o parehong 5 ang kanilang mga power.

Kung gagawing parehong 3 ang power,  ang  (0.23 x 10^5) ay magiging ( 0.0023 x 10^3).

Dahil pareho na ang kanilang power na 3, pwede na silang idagdag sa isa't isa;

(3.2 x 10^3) + (0.0023 x 10^3) = (3.2 + 0.0023) x 10^3 = 3.2023 x 10^3

2)  ( 9.65 x 10^4) - ( 3.21 x 10^3) = ?

Dahil magkaiba ang kanilang power na 4 at 3, gawin muna itong pareho; pwedeng parehong 4 o parehong 3.

Gawin nating parehong 3:

Ang ( 9.65 x 10^4) ay magiging  ( 96.5 x 10^3) ==> ilipat lamang ng isang puwesto ang tuldok pakanan.

Dahil pareho ng may power 3 ang ating mga numero, maaari na silang ibawas sa isat'isa.

(96.5 x 10^3) - ( 3.21 x 10^3) = ( 96.5 - 3.21 ) x 10^3 = 93.29 x 10^3

Scientific Notation

(Ang araling ito ay mula sa http://www.nyu.edu/pages/mathmol/textbook/scinot.html)

Minsan, may mga bilang na napakaliit o napakarami na mahirap isulat lahat. Kahit gamitin ang calculator, hindi lahat ng numero ay makikita sa display nito. Isang halimbawa ay ang mga numerong may maraming zero sa una o hulihan ng isang bilang. Dahil dito ang mga siyentipiko ay lumikha ng paraan kung paano ito isusulat nang hindi nababago ang value nito. Ang tawag sa sistemang ito ay scientific notation.

Scientists have developed a shorter method to express very large numbers. This method is called scientific notation. Scientific Notation is based on powers of the base number 10.

The number 123,000,000,000 in scientific notation is written as :

(Ang unang mga bilang na hindi zero ay tinatawag na COEFFICIENT. Ito ay DAPAT equal sa ISA (1) o mahigit pa subalit HINDI DAPAT umabot sa SAMPU (10). Ang susunod na numero pagkatapos ng "x" sign ay tinatawag na BASE at ito ay laging SAMPU (10). Ang bilang sa itaas ng base ay tinatawag na EXPONENT o POWER of TEN.

The first number 1.23 is called the coefficient. It must be greater than or equal to 1 and less than 10.

The second number is called the base . It must always be 10 in scientific notation. The base number 10 is always written in exponent form. In the number 1.23 x 10¹¹ the number 11 is referred to as the exponent or power of ten.

---

To write a number in scientific notation: (Paano isulat ang isang bilang sa scientific notation)

Put the decimal after the first digit and drop the zeroes. (Ilagay ang decimal point 0 tuldok pagkatapos ng unang bilang o digit)

In the number 123,000,000,000 The coefficient will be 1.23 (Sa numerong 123,000,000,000 - ang coefficient ay 1.23)

To find the exponent count the number of places from the decimal to the end of the number. (Para mahanap ang exponent, bilangan ang mga bilang o digit mula sa decimal point o tuldok. Sa numerong 123,000,000,000 - mayroong 11 places o bilang).

In 123,000,000,000 there are 11 places. Therefore we write 123,000,000,000 as:

---

Exponents are often expressed using other notations. The number 123,000,000,000 can also be written as:
(Ang numerong 123,000,000,000 ay maaari ring isulat gaya ng:




1.23E+11 or as 1.23 X 10^11

---

(Sa mga numerong napakaliit - yaong mas maliit pa sa isa - pareho lang ang sistema ng pagsulat subali't ang mga ito ay magkakaroon ng NEGATIVE EXPONENT)

For small numbers we use a similar approach. Numbers less smaller than 1 will have a negative exponent. A millionth of a second is:




0.000001 sec. or 1.0E-6 or 1.0^-6 or 

DIVISION OF FRACTIONS

How to divide fractions?
Paano maghati ng hating-bilang (praksyon)?

There are 3 simple steps in dividing fractions:
Mayroong 3 simpleng hakbang sa paghahati ng praksyon:

Halimbawa:

1)Turn the second fraction (the one you want to divide by) upside-down or get its reciprocal.
Baliktarin ang ikalawang praksyon o kunin ang reciprocal (kabalikan) nito.
The reciprocal of a number is a number which when multiplied together, the product is always 1.
Ang reciprocal o kabalikan ng isang bilang ay ang bilang kung saan kapag minultiply mo silang dalawa, ang makukuhang sagot ay laging isa (1).
Example:
What is the reciprocal of 1/2? The reciprocal of 1/2 is 2. Why?  1/2 x 2 = 1
What is the reciprocal of 3/4? The reciprocal of 3/4 is 4/3. Why? 3/4 x 4/3 = 1

2) Multiply the first fraction by that reciprocal. I-multiply ang unang praksyon sa nakuhang reciprocal ng ikalawang praksyon.

3) Simplify the fraction (if needed). Gawing simple ang praksyon (kung kailangan).

To simplify the fraction, find its Greatest Common Factor (GCF) and divide both the numerator and denominator by this GCF.

Para maging simple ang praksyon, hanapin ang Pinakamalaking Parehong Factor nito at idivide ang numerator at denominator ng GCF na ito.

What are the factors of 15 and 28? 

Ang factors ng 15 ay 1, 3 , 5 at 15 dahil  1 x15 = 15 at 3 x 5 = 15

Ang factors ng 28 ay 1, 2, 14 at 28 dahil 1 x 28 = 28 at 2 x 14 = 28.

Makikita sa itaas na ang GCF ng 15 at 28 ay 1. Dahil hindi naman mababago ang porma ng 15/28 kapag dinivide sa 1, masasabing simple na ang sagot na 15/28.

(Reference: www.mathisfun.com)

MULTIPLICATION OF FRACTIONS

How to multiply fractions?
Paano mag-multiply ng hating-bilang (praksyon)?

Follow the steps below in multiplying fractions;
Sundin ang mga sumusunod na hakbang sa pagmumulitply ng praksyon:


Example (Halimbawa)

1. Multiply the numerator of the first fraction by the numerator of the second fraction.
Imultiply ang numerator (numerong nasa itaas) ng unang praksyon sa numerator ng ikalawang praksyon.

2. Multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction.
Imultiply ang denominator (numerong nasa ibaba) ng unang praksyon sa denominator ng ikalawang praksyon.


3. Simplify the answer or reduce it to lowest term.
 Gawing simple ang sagot o paliitin ang  termino/antas.

To simplify, find the Greatest Common Factor  (GCF) of the numerator and the denominator. 
The factors of 6 are 1,2,3 and 6.
The factors of 20 are 1, 2, 4, 5, 10 and 20.
We can see that the GCF of 6 and 20 is 2. Dividing the numerator and the denominator by 2 / 2 will not change the value of the original fraction since 2/2 = 1.


WARNING : The rule of dividing fractions IS NOT THE SAME as multiplying fractions. See the lesson for it.


BABALA: Ang mga tuntunin sa pagdi-divide ng praksyon ay HINDI KAPAREHO sa pagmu-multiply ng praksyon. Tingnan sa susunod na aralin.

Subtraction of Fractions with Like Denominators

Subtracting Fractions - Pagbabawas ng Hating-Bilang

There are 3 simple steps to subtract fractions. (Mayroon tatlong hakbang sa pagbabawas ng hating-bilang)

1. Make sure the bottom numbers (the denominators) are the same.

Siguraduhin na ang mga numerong nasa ibaba (denominators) ay magkatulad. 

2. Subtract the top numbers (the numerators). Put the answer over the same denominator.

Ibawas ang mga numerong nasa itaas (numerators). Ilagay ang sagot sa ibabaw ng magkatulad na denominator.

3. Simplify the fraction.

Gawing simple ang hating-bilang.

Example 1:

3	–	1
6		6

Step 1. The bottom numbers are already the same. Go straight to step 2.

Step 2. Subtract the top numbers and put the answer over the same denominator:

3	–	1	=	3 – 1	=	2
6		6		6		6

Step 3. Simplify the fraction:

2	=	1
6		3

Reference:  http://www.mathsisfun.com/fractions_subtraction.html

ADDITION OF FRACTION WITH UNLIKE DENOMINATORS

Madali lamang mag-ADD ng hating-bilang (fraction) kung ang denominator (ang numero sa ibaba) ay magkatulad. May konting kahirapan lamang kung ang mga ito ay hindi magkatulad. Tingnan ang halimbawa sa ibaba:

 

Makikitang ang mga denominators ay 2 at 4. Dahil dito, hindi sila maaaring idagdag. Kailangang maging MAGKAPAREHO muna ang kanilang mga DENOMINATOR bago sila pwedeng pagsamahin. Paano ito gagawin?

Sa pagsusuma ng dalawang praksyon na may magkaibang denominator, sundin ang mga sumusunod na hakbang (steps)"

1. Gawing magkapareho ang denominator ng dalawang fraction.  Paano ito gagawin?

Simple lamang. I-Multiply ang dalawang denominator.

Ang dalawang denominator ng ating halimbawa ay 2 at 4. Kung -imumultiply, ang makukuhang produkto ay 8:

2 x 4 = 8

2. Ang nakuhang sagot sa step 1 ang siyang magiging  common denominator. 

3. Palitan ang mga fraction sa kanilang katumbas na fraction o tinatawag na equivalent fraction.

Ano ang katumbas ng 1/2 kung ang denominator nito ay 8?

Ano ang katumbas ng 3/4 kung ang denominator nito ay 8?

   I-DIVIDE ang nakuhang common denominator na 8 sa original na denominator ( 2 or 4) at i-MULTIPLY ang nakuhang sagot sa numerator ( 1 o 3). Ang makukuhang sagot ang siyang magiging bagong numerator. Panatilihin ang bagong denominator na 8.

Kung gayon, ang katumbas ng 1/2 ay ==>  8 / 2 = 4 x 1 = 4 ==>  4/8

Ang katumbas ng 3/4 ==>  8/4 = 2 x 3 = 6/8

4. I-ADD ang dalawang fraction kung pareho na ang mga denominator nito.

5. I-simplify ang sagot kung maaari.

Makikitang ang sagot na 10/8 ay maaari pang maging simple. Kung i-didivide natin ang 10/8, ang makukuha nating sagot ay 1 2/8 pero ang sagot na ito ay maaari pang maging simple dahil ang katumbas ng 2/8 ay 1/4. Kung gayon, ang 10/8 = 1 2/8 = 1 1/4

Pagsasanay:

I-ADD o i-SUMA ang mga sumusunod na fractions.

1)  2/5 + 1/3 =?

Ang common denominator ay 5 x 3 = 15.

Kunin ang equivalent fractions. I-divide ang common denominator na 15 sa original na denominator at imultiply ito sa numerator. Ang sagot ang magiging bagong numerator. Panatilihin ang common denominator

 2/5 ==> 15 / 5 = 3 x 2 = 6 ==> 6/15

 1/3 ==> 15 / 3 = 5 x 1 = 5 ==> 5/15

Ang equivalent fraction ng 2/5 ay 6/15 at 5/15 sa 1/3

Dahil pareho na ang mga denominator, maaari nang pagsamahin ang 2 fractions.

6/15 + 5/15 = 11/15

Hindi na maaaring i-simplify pa ang sagot dahil walang common factor ang numerator at denominator o dahil na rin sa maliit naman ang numerator sa denominator.

2) 1/2 + 3/8 = ?

Common denominator ;  2 x 8 = 16

Equivalent fractions: 1/2 ==> 16/2 = 8 x 1 = 8 ==> 8/16

                               3/8 ==> 16/8 = 2 x 3 = 6 ==> 6/16

Add: 8/16 + 6/16 = 14/16

Simplify : Find the Greatest Common Factor (GCF) of the Numerator and Denominator = ang pinakamalaking bilang na pwede silang i-divide na walang remainder o whole number ang sagot.

Ano ang mga factors ng 14 at 16? (Ang factors ay mga numero na kapag ini-multiply mo, ang magiging sagot ay 14 o kaya ay 16)

Ang mga factors ng 14 ay 1, 2, 7 at 14.

1 x 14 = 14

2 x 7 = 14

Ang mga factors ng 16 ay 1, 2, 4, 8 at 16.

1 x 16 = 16

2 x 8 = 16

4 x 4 = 16

Makikitang ang GCF ng numerator (14)  at denominator (16) ay 2.

I-divide ang numerator at denominator sa 2 upang maging simple ang fraction.

14/2 = 7 ; 16/2 = 8

Ang simpleng porma ng 14/16 ay 7/8.

ADDITION OF FRACTION - PAGSUSUMA NG HATIMBILANG

Paano ang pagsusuma/pagdadagdag (Addition) ng praksyon o hatimbilang ?

May tatlong steps (hakbang) kung paano magdagdag ng praksyon:
1. Siguraduhing ang DENOMINATOR (numerong nasa ibaba) ay MAGKAPAREHO.
2. SUMAHIN (Add) ang mga NUMERATOR (numerong nasa itaas) at isulat/panatilihin ang magkaparehong denominator.
3. Gawing SIMPLE (Simplify) ang praksyon kung kinakailangan.
Halimbawa:

Dahil magkapareho ang mga denominator, maaari na nating sundin ang Step 2.

Sumahin ang mga numerator at isulat ang magkaparehong denominator.

Maaari nating i-simplify ang fraction na 4/8. Ito ay katumbas ng 1/2. 


Makukuha ang sagot na ito kung hahatiin (divide) natin ang 4/8 sa 4/4. 


Tingnan ang larawan sa ibaba. Makikitang ang 4/8 ay kasinglaki/katumbas ng 1/2.

 (Tunghayan sa mga susunod na aralin kung paanong mag-DIVIDE ng Fraction).


Paano magsuma ng hatimbilang kung hindi magkatulad ang denominator?

WHAT IS A FRACTION? (HATIMBILANG o PRAKSYON)

Ano ang fraction o hating-bilang?

Ang fraction ay BAHAGI or PARTE lang ng isang BUONG bagay. Dahil dito, masasabing ang praksyon ay hindi kailanman maaaring MAS MALAKI pa sa KABUUAN. Kung magkaganoon, ang hatimbilang ay MAS MALIIT sa ISA.

Tingnan ang larawan sa ibaba. Anong bahagi ng buong parisukat (square) ang kulay dilaw (yellow)?

Makikita natin na ang parisukat ay HINATI sa APAT (4) na bahagi.  Makikita rin na ang kulay dilaw ay ISA (1) lamang sa APAT (1) na parte nito. Masasabing ang kulay dilaw ay ISA sa APAT.  Ito ay isusulat na  1/4 , kung saan ang nasa ITAAS na bilang ay ang bahaging kulay dilaw at ang nasa IBABA na bilang ay nagsasaad kung ilang parte o bahagi ang ginawa sa isang buong parisukat.

Sa fraction o hatimbilang, ang numerong nasa ITAAS ay tinatawag na NUMERATOR at ang nasa IBABA naman ay tinatawag na DENOMINATOR.

Sa pagpapatuloy, ano namang BAHAGI ang may kulay dilaw sa larawang nasa kanan?
Matutunghayan natin na ang may DALAWANG (2) parte ng parisukat ang may kulay dilaw. Ito ay isusulat bilang 2/4. Gayunpaman, kung susuriin mabuti ang larawan, ang 2/4 ay katumbas din ng 1/2 o kalahati. Ito ay sa kadahilanang kung i-didivide natin sa 2/2 ang 2/4, ang makukuha nating sagot ay 1/2. (Tunghayan sa susunod na leksyon kung paano mag-divide ng fraction).

Anong BAHAGI naman ng parisukat na nasa kaliwa ang kulay dilaw?


Makiktang may TATLONG (3) parte ng kabuuang parisukat ang may kulay dilaw. Dahil dito, ang hating-bilang ay isusulat na 3/4, kung saan ang 3 ay kumakatawan kung ilang bahagi ng parisukat ang kulay dilaw (Numerator) at ang 4 ay kumakatawan naman kung ilan lahat ang bahagi o parte ng parisukat (Denominator).

Anong bahagi ng parisukat na nasa kanan ang kulay dilaw?

Agad nating makikita na APAT (4) sa APAT (4) na parte ng parisukat ang may kulay dilaw. Ang praksyon ay isusulat na 4/4. Mapapansin din natin na ang BUONG parisukat ay may kulay dilaw. Dahil dito, masasabing ang 4/4 ay katumbas ng ISA (1). Dapat tandaan: kung PAREHO ang  numero ng NUMERATOR at DENOMINATOR, ito ay katumbas ng 1.
Halimbawa:
12/12 = 1
345/345 = 1
7/7 = 1

Dahil sa nabanggit, masasabi nating ang numerong may parehong numerator at denominator ay HINDI maaaring tawaging fraction dahil na rin sa limitasyon ng kahulugan ng praksyon na ito ay bahagi lamang ng isang buo.