Note: Upang maunawaan ang araling ito, dapat ay napag-aralan muna ang Lesson 1 to 7.
LESSON 8 – SPECIAL ANGLES
Sa Lesson 1- 7, nakilala mo ang mundo ng Trigonometry. Nalaman mo ang tungkol sa mga linya at anggulo at kanilang mga sukat gayundin ang tungkol sa mga complementary at supplementary angles. Nalaman mo rin ang mga uri ng anggulo ayon sa sukat ng kanyang mga gilid at sukat ng angle na nabuo ng mga gilid, at kung ano ang anim na trigonometric functions.
Sa modyul na ito, malalaman mo ang tungkol sa mga values ng mga trigonometric functions ng mga espesyal na anggulo (special angles). Mapapahalagahan mo rin ang kahalagahan ng mga espesyal na anggulong ito habang inilalapat sa mga pang-araw-araw na sitwasyon sa buhay.
Naglalaman ang modyul na ito ng apat na aralin:
Lesson 8 — Special Angles/ Mga Espesyal na Anggulo
Lesson 9 — Reference Angles/ Mga Sangguniang Anggulo
Lesson 10 — Using a Scientific Calculator: Sin, Cos and Tan Keys/ Paggamit ng isang Scientific Calculator: Sin, Cos at Tan Keys
Lesson 11— Trigonometric Functions in Everyday Life/ Mga Trigonometric Function sa Pang-araw-araw na Buhay
PAG-ARALAN AT SURIIN NATIN
Ang Figure 1 sa ibaba ay nagpapakita ng isang equilateral triangle. Ang isang equilateral triangle ay isang tatsulok na may pantay o pare-parehong sukat ng mga gilid (sides). Ang bawat anggulo sa isang equilateral triangle ay may sukat na 60o ( 60 degrees). Matatandaan na ang kabuuang sukat ng mga angles sa isang triangle ay 180 degrees (180o).
Kapag hinati natin ang tatsulok sa Figure 1 sa dalawa sa pamamagitan ng pag-bisect ng isa sa mga anggulo, makakakuha tayo ng dalawang right triangles tulad ng ipinakita sa Figure 2.
Kung susuriin ang Fig. 2, dalawang triangles ang nabuo — triangles A at B. Pareho silang 30o – 60o right triangles. Sa isang tatsulok ng ganitong uri, ang hypotenuse ang pinakamahaba at palaging dalawang beses ang haba sa pinakamaikling gilid/side; ang mas mahaba namang gilid ay √3 times ang haba sa pinakamaikling gilid.
Ang pinakamaikling bahagi ay nasa tapat ng 30o angle, habang ang mas mahabang bahagi o gilid ay nasa tapat ng 60o angle. Ang hypotenuse ay laging katapat ng 90o angle o ng right angle.
Ipagpalagay na ang haba ng hypotenuse ng mga triangles A at B ay 2 units, samakatuwid, batay sa mga katangian ng isang 30o – 60o right triangle, ang mga triangles A at B ay may mga sumusunod na sukat:
Dahil parehong right triangles ang dalawang tatsulok,gagamitin natin ang Pythagorean Theorem upang suriin kung tama ang mga sukat sa itaas.
Matapos lapatan ng Theorem ng Pythagorean, mayroon tayong:
c2 = a2 + b2
22 = 12 + (√3)2
4 = 1 + 3
4 = 4
Samakatuwid, ang mga sukat ay tama.
DAPAT UNAWAIN AT TANDAAN
Sa pagsagot ng mga problema na kinasasangkutan ng 30o-60o special triangle, dapat alalahanin ang mga sumusunod na katangian nito:
1. Ang hypotenuse ang siyang pinakamahaba ang sukat sa tatlong mga gilid o sides. Ito ay dalawang beses ang haba sa pinakamaliit na gilid. Ito ay katapat ng 90o angle.
2. Ang gilid na mas maliit sa hypotenuse o mas mahaba sa pinakamaikling gilid ay may sukat na √3 (square root of three) times ng sukat ng pinakamaikling gilid o side. Ito ay katapat ng 60o angle.
3. Ang pinakamaikling gilid ay katapat ng 30o angle.
Upang lubos pang maunawaan ang konsepto sa itaas, sagutin natin ang problemang ito:
The hypotenuse of a 30° – 60° right triangle has a length of 9 units. What is the length of the other two sides?
Steps in Solving this problem
Step 1: Determine the given facts.
length of hypotenuse = 9 units
Let’s call the hypotenuse as c;
c = 9 units
Step 2: Determine what is asked for in the problem.
The lengths of the other two sides
Step 3: Find the length of the shortest side.
We use the property of the 30°– 60° right triangle which states that the hypotenuse is always twice as long as the shortest side.
Let a = the shortest side
2a = c = the length of the hypotenuse
Substituting the given length of the hypotenuse,
2a = 9
a = 9/2
Step 4: Find the length of the longer side.
We know that for a 30°– 60° right triangle that the longer side is √3 times as long as the shortest side. Designating b as the longer side, we have:
b = a (√3)
Since a = 9/2 (From Step 3),
b = 9/2 (√3) or 9/2 √3
Step 5. Use the Pythagorean theorem to check the values obtained.
a = 9/2 b = 9/2 √3 c = 9
Pythagorean Theorem:
c2 = a2 + b2
92 = (9/2)2 + [9/2 √3]2
81 = 81/4 + 81/4 (3)
81 = 81/4 + 243/4
81 = 324/4
81 = 81
Our answer is correct.
MATUTO TAYO
Alalahanin natin ang 30o-60o right triangle sa Figure 2.
Makikita sa larawan na ang hypotenuse ay may habang 2 units. The side opposite the 30o angle has a length of 1 unit while the side adjacent to the 30oangle has a length of √3 (square root of 3).
Ang ating nakuhang mga sukat ay:
hypotenuse c = 2
side opposite 30° angle a = 1
side adjacent to 30° angle b = √3
Using the definitions of the trigonometric functions, we have the following values for ∠30o based on c = 2; a = 1; and b = √3:
sin 30o = opposite side/ hypotenuse = a/c = 1/2
cos 30o = adjacent side/ hypotenuse = b/c = √3/2
tan 30o = opposite side/ adjacent side = a/b = 1/√3 or √3/3
Note: The denominator √3 is a radical and the fraction was simplified by multiplying both the numerator and the denominator by the radical (1/√3 x √3/√3 = √3/√9 = √3/3)
csc 30o = hypotenuse/ opposite side = c/a = 2/1 = 2
sec 30o = hypotenuse/ adjacent side = c/b = 2/√3 or 2√3/3
cot 30o = adjacent side / opposite side = b/a = √3/1 = √3
Gamit ang 30o-60o right triangle sa Figure 2, kunin natin ang mga values ng six trigonometric functions para sa ∠60o.
Batay sa larawan, ang mga sukat para sa ∠60o ay:
hypotenuse c = 2
side opposite 60o a = √3
side adjacent to 60o b = 1
Using the definitions of the trigonometric functions, we have the following values for ∠60o based on
hypotenuse c = 2 opposite side a = √3 adjacent side b = 1:
sin 60o = opposite side/ hypotenuse = a/c = √3/2
cos 60o = adjacent side/ hypotenuse = b/c = 1/2
tan 60o= opposite side/ adjacent side = a/b = √3/1 or √3
csc 60o= hypotenuse/ opposite side = c/a = 2/√3 or 2√3/3
Note: The denominator √3 is a radical and the fraction was simplified by multiplying both the numerator and the denominator by the radical ( 2/√3 x √3/√3 = 2√3/√9 = 2√3/3
sec 60o= hypotenuse/ adjacent side = c/b = 2/1 or 2
cot 60o= adjacent side / opposite side = b/a = 1/√3 or √3/3
PAG-ARALAN AT SURIIN NATIN
Ang isa pang uri ng tatsulok na espesyal o special triangle ay ang 45o – 45o right triangle. Ang tatsulok na ito ay isang isosceles triangle at sa gayon ay may dalawang gilid/side na may parehong haba. Kung hahayaan natin na ang mga gilid na magkapareho ay may sukat na 1 at kung ang c ay kumakatawan sa hypotenuse, ang tatsulok ay kinakatawan ng Figure 3 sa ibaba.
Gamit ang Pythagorean theorem, makakalkula natin ang value ng hypotenuse c:
c= ? a = 1 b = 1
c2 = a2 + b2
Let's substitute the values:
c2 = 12 + 12
c2 = 2
c = √2 (square root of 2)
Narito ang sukat ng mga gilid ng 45o-45o right triangle:
hypotenuse c = √2 opposite side a = 1 adjacent side b = 1
Kung gayon, ang 45°– 45° right triangle ay mayroong mga values para sa six trigonometric functions:
sin 45o = opposite/hypotenuse = a/c = 1/√2 or √2/2
cos 45o = adjacent/hypotenuse = b/c = 1/√2 or √2/2
tan 45o = opposite/adjacent = a/b = 1/1 or 1
csc 45o = hypotenuse /opposite = c/a = √2/1 or √2
sec 45o = hypotenuse/adjacent = c/b = √2/1 or √2
cot 45o = adjacent/opposite = b/a = 1/1 or 1
SUMMARY
1. Ang unang special angle na ating napag-aralan ay ang 30o-60o right angle kung saan nakabuo tayo ng 30o-60o right angle . Ito ay nakuha natin nang i-bisect natin ang isang angle ng isang equilateral triangle (triangle na may pare-parehong haba o sukat ang mga gilid o sides).
2. Isa pang special triangle ay ang 45o-45o right triangle. Ang tatsulok na ito ay isang isosceles triangle (triangle na may 2 gilid na magkapareho ang haba o sukat)
3. Base sa mga triangles na ito, napag-alaman natin ang values ng 6 na trigonometric functions para sa∠30o, ∠45o, at ∠60o. Tunghayan ang mga values ng mga ito sa isang table sa susunod na pahina.
PAGSASANAY
1. The length of the hypotenuse of a 30o-60o right triangle is 7 units. Find the length of the other two sides.
2. The length of the shortest side of a 30o-60o right triangle is 5 units. What is the length of the other two sides?
MGA SAGOT SA PAGSASANAY
The length of the hypotenuse of a 30o-60o right triangle is 7 units. Find the length of the other two sides.
Step 1: Determine the given facts.
length of hypotenuse c = 7 units
Step 2: Determine what is asked for in the problem.
length of the other two sides
Step 3: Find the length of the shortest side.
In a 30o-45o60o right triangle, the shortest side is one-half the length of the hypotenuse or the hypotenuse is twice the length of the shortest side.
Let a = shortest side
a = 1/2c
a = ½ (7) = 7/2 or 3.5 units
Step 4: Find the length of the longer side.
In a 30o-60o right triangle, the longer side is √3 times
as long as the shortest side.
Let b = shorter side
b = a (√3)
b = 7/2 (√3) or 7/2 √3 units
Step 5: Use the Pythagorean theorem to check the values obtained.
c2 = a2 + b2
72 = (7/2)2 + (7/2 √3)2
49 = 49/4 + [49/4 (3)]
49 = 49/4 + 147/4
49 = 196/4
49 = 49
2. The length of the shortest side of a 30o-60o right triangle is 5 units. What is the length of the other two sides?
Step 1: Determine the given facts.
length of shortest side a = 5 units
Step 2: Determine what is asked for in the problem.
length of the other two sides
Step 3: Find the length of the longest side.
In a 30o-60o right triangle, the shortest side is one-half the length of the hypotenuse or the hypotenuse is twice the length of the shortest side.
Let c = longest side
c = 2a
c = 2 (5) = 10 units
Step 4: Find the length of the longer side.
In a 30o-60o right triangle, the longer side is √3 times
as long as the shortest side.
Let b = shorter side
b = a (√3)
b = 5(√3) or 5√3 units
Step 5: Use the Pythagorean theorem to check the values obtained.
c2 = a2 + b2
102 = 52 + (5√3)2
100 = 25 + [25(3)]
100 = 25 + 75
100 = 100
NOTE: If you want to view the lesson on YouTube, please click the link below and subscribe:
