Basic Operations With Exponents

http://www.solving-math-problems.com/exponent-rules-distributive.html

Ang ang exponent?

Ang exponent ay ang pinaikling representasyon kung makailan mong i-mumultiply ang magkatulad na bilang o numero. Ang exponent ay ang bilang na nakikita sa itaas ng isang numero.

Halimbawa:

Ang bilang na nasa itaas ng 6 ay ang exponent na 4. Ito ay binabasa bilang, six (6) raised to the power of four (4). Ang 6 ay tinatawag na base at power o exponent naman ang 4.

Note:  Sa mga sumusunod na paglalarawan, ang simbolong "^" ay ipagkahulugan na "raised to the power of ". Ginamit ko ito upang madaling maisulat ang exponent.

Halimbawa:

Ang ibig sabihin ng  5^3 = ay 5, raised to the power of 3 ( o 5 cubed)

Ilang mga basic rules ng exponent:

Paglalarawan:

Simplify    (3 ^ 3) ( 3 ^ 5) = ?

Dahil ang 3^3 ay ( 3 x 3 x 3)  at 3^5 ay (3 x 3 x 3 x 3 x 3);
ang (3^3) (3^5) = 3^8

Sa multiplication ng exponent, pansinin na ina-ADD natin ang mga exponent ng may magkatulad na base.
Sa tuwirang salita,

(A^n) (A^m) = A ^n + m

Tandaan: Ang rule na ito ay tama lamang kung MAGKATULAD ang BASE ng mga exponents at tayo ay nagmu-MULTIPLY.

MALI ITO:    (3^3) ( 5^2) = 15^5 = 759,375
dahil ang  3^3 ay 3 x 3 x 3 = 27; ang 5^2 = 5 x 5 = 25  at 27 x 25 = 675 lamang at hindi 759,375.

Mga Halimbawa:

1)  ( 3^ 2) ( 3^4) = 3^ 2 + 4 = 3^6 = 729

2)   (x^ 1/2) (x^ 1/3) ( x^ 1/4) = x ^ 1/2 + 1/3 + 1/4 = x ^ 13/12  or x ^ 1 1/12

Simplify:    ( 3^3)^2 = ?

Ang ibig sabihin ng (3^3)^2 ay  (3^3) (3^3) = ( 3 x 3 x 3 ) ( 3 x 3 x 3 ) = 3^6

Samakatuwid,

( B ^ n ) ^ m =  B ^ n * m  or B^nm ( ang * ay simbolo rin ng multiplication)


Ang rule na ito ay tama kung tayo ay nagmu-MULTIPLY at magkapareho ang BASE ng exponent.


Mali ito:  (3^2)^2  (4^2)^2 = (3^4) (4^4) = 12^8

Halaw sa  http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm

Itutuloy

Multiplication and Division of Integers

http://mhariati.blogspot.com/2010/11/combined-operations-of-integers.html

Kung marunong kang mag-multiply at mag-divide, madali lamang ang multiplication at division ng integers. Dapat lamang tandaan ang tuntunin para sa SIGN ng resulta (negative o positive)

1) Positive ang sign ng product o quotient ng 2 intergers na minultiply o dinivide kung ang kanilang mga sign ay magkatulad o magkapareho:

Halimbawa:

a)  -B * -C = D or +D
b) F / G = H or +H

2) Kung ang ang mga integers ay hindi magkatulad ang mga sign, NEGATIVE sign ang product o quotient nito.

Halimbawa:
a)  T * - S = -U
b) -M / N  = O

3) Kung maraming bilang ang mga integers na imumultiply at ididivide at magkakaiba ang mga sign nito, dapat lang tandaan ito:

a) Kung ang bilang ng mga NEGATIVE integers ay ODD ( 1, 3, 5, 7, ,,,), ang sign ng product o quotient ay NEGATIVE.

Halimbawa:

-A * B * -C * -D * E * F = - G
Ang bilang ng mga negative intergers ( -A, -C, -D) ay 3 o isang ODD number kaya negative ang sign ng product.

b) Kung ang bilang ng mga NEGATIVE integers ay EVEN ( 2,4, 6, 8,...) and sign ng product o quotient ay POSITIVE.

Halimbawa:

-X / Y / - Z / -W / T / -U = S
Ang bilang ng mga negative integers (-X, -Z, -W, -U) ay apat o isang EVEN number kaya positive ang sign ng quotient.

ADDITION & SUBTRACTION OF INTEGERS

http://mathdaily.wordpress.com/tag/integers/

Paano ba mag-ADD at mag-SUBTRACT ng INTEGERS?
Bago sagutin, dapat nating malaman kung ano ang mga numerong Integers. Ang mga intergers ay mga pamilang na bilang (counting numbers, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ...) na maaaring may simbolong "plus" o positibo (+) o negatibo (-). Ang mga numerong walang simbolo ay pinalalagay na positibong integer (positive integer). Ang mga integers ay hango sa number lines kung saan ay mga bilang sa kaliwa ng zero ay may negatibong simbolo at ang nasa kanan ng zero ay may positibong simbolo.

ADDITION of INTEGER  (Pagdadagdag ng Integer)


A) Mga bilang na may parehong simbolo o sign = idagdag lamang ito nang tulad na nakagawian na. Pagkatapos ay ilagay ang simbolo nito.

Halimbawa:

1)   5  + 12 = 17
2) -25 + (-12) =  - 37

B) Mga bilang na may parehong simbolo o sign = magsasamahin ang may magkaparehong simbolo. Kunin ang bilang na mas malaki at idagdag dito ang bilang ng maliit. Ilagay ang simbolo ng may malaking bilang.

Halimbawa:

1)  -35 + 47 = ?
Ang malaking bilang ay 47, maliit na bilang ang - 35
Idagdag ang 47 sa - 35 ===>  47 + (-35) = 12

2) 62 + ( - 105 ) ==>  - 105 + 62 =  - 43

3)  24 + (-7 ) + ( -65 ) + 35 = =>   24 + 35 = 59 ..... -7 + - 65 = -72
  -72 + 59 = 13

SUBTRACTION OF INTEGER (Pagbabawas ng Integer)


Iisa lang ang rule o panuntunan sa pagbabawas ng integer:

Idagdag ang kabaliktaran o opposite ng pangalawang bilang. Ilagay ang simbolo ng mas malaking bilang sa dalawa.


Halimbawa:

1)  -352  -  541 = ?
Ang opposite ng 541 ay - 541. Samakatuwid, -352 + -541 = -593

2) 651 -  758 = ?
Ang opposite ng 758 ay - 758. Samakatuwid, -758 + 651 = -107

3) -75  -  ( - 36 ) = ?
Ang opposite ng -36 ay 36. Samakatuwid, -75 + 36 = -39

Mapapansin natin, na ang subtraction ay naging addition.

Diskarte sa Pagsagot ng mga Math Word Problems

Marami ang nagtatanong kung paano masasagot ng tama ang mga word problems sa Math. Isa kasi ito sa kinatatakutan ng mga estudyante. Kadalasan kasi ay mas mataas ang puntos nito kaysa sa mga ordinaryong tanong. Tama lang ang gayon dahil talagang paglalaanan mo ito ng pag-iisip at tamang konsepto. Pangalawa, ikaw pa mismo ang magtatakda ng iyong equation. Kapag mali ang naiporma mong equation, tiyak na mali ang iyong sagot.

Pag-aaral lang nang husto at praktis ang nakikita kong paraan upang masagot nang wasto ang mga problemang nasusulat sa salita. Ang maraming praktis ay nakakatulong upang maging pamilyar sa iyo ang tipo ng mga problema. Kapag nakita mo ang lahat ng diskarte para ito sagutin, magiging madali na ang pagsagot nito.

Ang nasa ibaba ang ilang diskarte o tips para masagot ng tama ang isang word problem:

1. Basahing mabuti ang problema lalo na ang mga detalye. (Read and understand the problem carefully especially the details)
2. Itampok ang hinihingi ng problema.(State the problem)
 Ano ba ang hinihingi o hinahanap ng problema? Halimbawa, kung ang hinahanap ay area ng isang sukat ng lote o lugar, alamin ang mga detalye at pormula kung paano ito makukuha.
3. Ilista ang mga detalyeng nakapaloob na sa tanong o yaong tinatawag na given.
4. Magtalaga ng letra o titik sa hinahanap o unknown.
5. I-set up ang equation.
6. Sagutin ang equation.
7. Bilisan ang pagsulat lalo na't konting oras lamang ang nakalaan.
8. Kung hindi natapos ang computation, huwag itong burahin o lagyan ng ekis. Ito ay magkakaroon din ng puntos kahit hindi natapos basta't nakita ng gurong nagpursige at tama ang paraan mo sa pagsagot.
9. Pag-aralan ang tamang pagsagot nito kapag ibinalik na ng guro ang iyong papel na may marka upang masagot na ito ng tama sa susunod na pagsusulit.
10. Magpaturo sa kamag-aral o magulang na bihasa sa pagsagot ng word problems.
11. Mag-praktis at mag-praktis.

Angle of Elevation

The angle of elevation is the angle between the horizontal and the line of sight to an object above the horizontal. Ang angulo ng elevation ay ang nalikhang anggulo sa pagitan ng linyang pahalang at ang linyang nabuo mula sa ibabaw ng pahalang na linya patungo kung saan nakapokus o nakatingin ang isang nagmamasid.

Tingnan ang iba't ibang imahe ng anggulo ng elevation upang maunawaan ito nang husto.

http://www.icoachmath.com/math_dictionary/angle_of_elevation.html

http://etc.usf.edu/clipart/36700/36711/angelev_36711.htm

http://www.intmath.com/trigonometric-functions/4-right-triangle-applications.php

Ang angle of elevation gayundin ang angle of depression ay kalimitang ginagamit sa pag-aaral ng aplikasyon ng right triangle. Ang pag-unawa sa Pythagorean theorem  ( c^2 = a^2 + b^2) ay makakatulong nang husto upang masagot ang mga problema sa Algebra at ang sine, cosine at tangent relationship  naman para sa trigonometry.

Sa Trigonometry, upang mahanap ang angle of elevation, dapat nating matutunan kung anu-ano ang parte ng ating right triangle.  Pero bago ito, alamin muna natin kung ano ang right triangle.

What is a right triangle?

A right triangle has one right angle and two acute angles. The side opposite the right angle is the hypotenuse and is the longest side. The other sides are called legs. If one of the acute angles is chosen the leg forming one side of the angle is called the adjacent leg. The leg opposite from the chosen angle is called the opposite leg.

Ang isang right triangle ay may isang right angle ( 90 degrees angle) at dalawang acute angle (less than 90 degrees angle). Hypotenuse ang tawag sa pinakamahabang gilid (sides) katapat ng right angle.  Ang iba pang mga panig (horizantal and vertical line or side) ay tinatawag na mga binti o legs. Ang tawag sa binti/side/gilid nang piniling acute angle ay tinatawag na Adjacent leg samantalang Opposite leg naman ang tawag sa binti na katapat ng napiling acute angle.

Tingnan ang imahe sa ibaba (Image from https://www.andrews.edu/~rwright/Precalculus-RLW/Text/04-03.html) upang lubos na maunawaan.

How to find the angle in a right-angled triangle

Makukuha natin ang sukat ng angle sa isang right triangle kung gagamitin natin ang alinman sa 6 basic trigonometric functions. Ito ay ang mga sumusunod: 

1. Sine: sinθ=opp/hyp

2. Cosine: cosθ=adj/hyp

3. Tangent: tanθ=opp/adj

4. Cosecant: cscθ=hyp/opp

5. Secant: secθ=hyp/adj

6. Cotangent: cotθ=adj/opp

kung saan,  opp = length of the opposite leg, adj = length of the adjacent leg, and hyp = length of the hypotenuse.

Sa ngayon, gagamitin lang natin ang mga functions na ito upang mahanap ang angle of elevation ng isang problem.

Halimbawa:

Find the angle of elevation of the plane from point A on the ground. 

(Image from mathisfun.com)

May apat na hakbang upangg masagot ang problema.

Step 1 Hanapin ang 2 sides/gilid na alam na natin - mula sa Opposite, Adjacent and Hypotenuse.

Step 2  Gamitin ang SOHCAHTOA upang magdesisyon kung alin sa Sine, Cosine or Tangent ang gagamitin sa problema.

Step 3 Para sa  Sine kalkulahin ang Opposite/Hypotenuse, para sa Cosine kalkulahin ang  Adjacent/Hypotenuse o para sa  Tangent kalkulahin ang Opposite/Adjacent.

Step 4 Hanapin ang  angle sa iyong calculator, gamit ang isa man sa sin-1 (Inverse sine ) , cos-1 (Inverse cosine)  or tan-1 (Inverse tangent).

Para sa ating problema:

Step 1: Opposite = 300; Adjeacent = 400

Step 2: Dahil alam na natin ang opposite at adjacent side, Tangent function ang ating gagamitin (TOA).

Step 3: Kalkulahin ang opposite/adjacent = 300/400 = 0.75

Step 4: Hanapin ang angle sa inyong calculaor gamit ang tan-1 (Inverse tangent)

tan θ = opp/adj = 300/400 = 0.75

θ = tan-1 (0.75) = 36.9° (correct to 1 decimal place)

Angle of Depression

Angle of depression is the angle between a horizontal line and the line joining the observer's eye to some object beneath the horizontal line.

Ang angle of depression o anggulo ng depression ay angle o anggulo na nalikha sa pagitan ng isang horizontal line o pahalang na linya at ang linyang nalikha ng mata ng isang tagamasid sa ilalim ng pahalang na linya.

Mga imahe kung paano ipinakikita ang angle of depression:

http://gta310.blogspot.com/2010/05/review_5412.html

http://regentsprep.org/REgents/math/ALGEBRA/AT2/LtrigW.htm