Law of Sines or Sine Rules with Sample Problems and Solutions

The Sine Rule, also called the law of sines, is a rule of trigonometry that relates the sides of a triangle and its angle measurements. While most of trigonometry is based on the relationships of right triangles, the law of sines can apply to any triangle, whether or not it has a right angle. 

Ang Sine Rule, na tinatawag ding batas ng sines, ay isang panuntunan ng trigonometry na nauugnay sa mga  gilid ng isang tatsulok at mga pagsukat ng anggulo nito. Habang ang karamihan sa trigonometry ay batay sa mga ugnayan ng mga right triangle, ang batas ng mga sines ay maaaring mailapat sa anumang tatsulok, mayroon man itong right triangle o wala.

• The law of sines is stated as follows:
• ${\displaystyle {\frac {A}{\sin \alpha }}={\frac {B}{\sin \beta }}={\frac {C}{\sin \gamma }}}$

Kung saan ang A, B, at C ay sukat ng gilid ng isang tratsulok, samantalang ang

 , , at  ay ang mga anggulo na katapat (opposite) ng gilid A, B, at C.

Tandaan na ang mga titik o simbolo sa mga gilid at anggulo ay maaaring anuman sa mga letra ng Abakada na Ingles o Griyego o kombinasyon nito. Ang mahalaga ay consistent tayo sa paggamit. Halimbawa, kung ang letra ng gilid ay A (o a), ang katapat na anggulo nito ay a (o A) at pabaliktad. Hindi rin mahalaga kung ang Angle ay nakasulat sa maliit na titik at ang titik ng gilid ay nakasulat sa malaking titik.

• The same rule can be rearranged to yield the following equivalent statements: (Ang Sine Rule ay maaari ring isulat tulad ng nasa ibaba:)
• ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{A}}={\frac {\sin \beta }{B}}={\frac {\sin \gamma }{C}}}$

Kailan Maaaring Gamitin ang Sine Rule?

Ang batas ng sines ay pwedeng gamiting kung:

1. Alam mo ang sukat ng dalawang anggulo at isang sukat ng gilid (2 angles and 1 side), at isa sa anggulo at gilid ay magkapares. Ibig sabihin kung given ang Angle A, dapat ay given din ang side a; kung given ang side C, dapat given din ang Angle C.

2. Alam mo ang sukat ng dalawang gilid at isang sukat ng anggulo (2 sides and one angle), at at isa sa anggulo at gilid ay magkapares. Ibig sabihin kung given ang Side b, dapat ay given din ang Angle B; kung given ang side C, dapat given din ang Angle C.

Hindi maaaring gamitin ang Sine Rule sa mga sumusunod na sitwasyon:

a. Given Side a, Side b at Side c

        Hindi ito maaari dahil kailangan natin ang isang anggulo.

b. Given Angle A, Angle B, at Angle C

        Hindi magagamit dito ang Sine Rule dahil kailangan natin ang sukat ng isang gilid.

c. Given Side a, Side c, at Angle B

        Hindi magagamit ang Sine Rule dito dahil kailangan ang magkapares na gilid at anggulo.

d. Given Angle B, Angle C, at Side a

        Hindi maaaring magamit ang Law of Sines dito dahil walang magkapares na gilid at anggulo.

Sample Problems Using the Law of Sines

1. In a triangle ABC, if a = 2, b = 3 and sin A = 2/3, find Angle B

(If you cannot visualize the problem, it is recommended to draw the figure based on the given.)

Given:   a = 2 ; b = 3; sin A = 2/3

Required: Angle B

Formula:  a/sin A = b/sin B

Substitute the Given to the Formula:

2/ 2/3 = 3/sin b

2 x 3/2 = 3/sin B

6/2 = 3/ sin B

3 = 3/sin B

3 (1/3) = 1/3(3/sin B)

sin B = 1

B = sin^-1 (1) (arc-sin 1)

B = 90 degrees

2. Suppose you are given that side A is 12, angle   is 80 degrees, and angle  is 40 degrees. Find the length of side B.

Given: side A = 12; angle   = 80 degrees; angle   = 40 degrees.

Required: side B

Formula:  A/sin  = B/sin 

Substitution:  12/sin 80 = B/sin 40

B = 12 sin 40 / sin 80

Find the value of sin 40 and sin 80 in the Trigonometric Table or in a Scientific Calculator.

sin 40 =0.6428 (rounded)

sine 80 = 0.9848 (rounded)

B = 12 (0.6428) / 0.9848

B = 7.7136/0.9848

B = 7.833 (rounded)

3. If in any triangle ABC, ∠c = 105˚, ∠B = 45˚, a = 2 then find b. (From https://www.onlinemath4all.com)

Solution :

∠A + ∠B + ∠C = 180˚

∠A + 45˚ + 105˚ = 180˚

∠A = 30˚

a/sin A  = b/sin B = c/sin C

2/sin 30˚ = b/sin 45˚ = c/sin 105

2/(1/2) = b/(1/√2) = c/sin 105

4 = √2b

b = 4/√2 ==> 4√2/2 ==> 2√2

Hence the value of b is 2√2

References:

wikihow.com

Law of Cosines or Cosine Rule with Sample Problems and Answers

As posted in Wikipedia, " in Trigonometry, the law of cosines (also known as the cosine formula, cosine rule, or al-Kashi's theorem) relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles.

Sa paskel sa Wikipedia, "sa Trigonometry, ang batas ng cosines (kilala rin bilang formula ng cosine, panuntunan sa cosine, o theorem ng al-Kashi) ay nauugnay ang haba ng mga gilid ng isang tatsulok sa cosine (adjacent side/hypotenuse) ng isa sa mga anggulo nito.

The law of cosines states: (Ipinapahayag ng batas ng cosines na:)

c² = a² + b² − 2ab cos(C)

kung saan ang C ay ang anggulo na nilalaman sa pagitan ng mga gilid ng haba a at b at sa tapat ng gilid ng haba c. 

The law of cosines generalizes the Pythagorean theorem, which holds only for right triangles: if the angle C is a right angle (of measure 90 degrees, or π/2 radians), then cos C = 0, and thus the law of cosines reduces to the Pythagorean theorem: (Binuod ng batas ng mga cosines ang Pythagorean theorem, na tumpak lamang para sa mga right angles: kung ang anggulo C ay isang right angle (may sukat na 90 degree, o π / 2 radians), ang cos C = 0, at sa gayon ang batas ng cosines ay nagiging sa teorama ng Pythagorean:)

c² = a² + b²

Ang Cosine Rule ay maaari ring isulat na: 

a² = b² + c² − 2bc cos(A)

b² = a² + c² − 2ac cos(B)

Tingnan ang pigura sa ibaba upang maunawaan.

(Image from Calcworkshop.com)

Tiandaan na ang glid (side) na katapat ng Angle A ay a; ang katapat na gilid ng Angle B ay b: at ang katapat na gilid ng Angle C ay c. 

Ang angle o anggulo na nililikha ng gilid a at b ay Angle C; ang anggulo na nililikha ng gilid a at c ay Angle B; at ang anggulo na nililikha ng gilid b at c ay Angle A. Kung aling titik ang wala sa dalawang gilid, iyon ang titik ng anggulo.

Saan ginagamit ang Law of Cosines?

The law of cosines is useful for computing the third side of a triangle when two sides and their enclosed angle are known, and in computing the angles of a triangle if all three sides are known. (Ang batas ng mga cosines ay kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng pangatlong bahagi ng isang tatsulok kapag alam natin ang dalawang gilid at ang kanilang nakapaloob na anggulo, at sa pag-compute ng mga anggulo ng isang tatsulok kung alam ang sukat ng lahat ng tatlong gilid.)

Mga Halimbawa:

1. Alam ang mga sukat ng 2 gilid at ang nilikha nitong anggulo upang hanapin ang sukat ng ikatlong gilid.

a. Find the distance "z". (Hanapin ang distansya o sukat ng "z")

(Image & problem from https://www.mathsisfun.com)

Huwag mababahala sa mga titik na ginamit dahil maaari namang gamitin ang alinman sa mga titik ng Abakada sa magpepresenta ng mga sides at angles. 

Sa halip na a² = b² + c² − 2bc cos(A),

maaari nating gamitin ang==>

z² = x² + y² − 2xy cos(Z)

Ilagay ang mga value o sukat na alam na natin:

Angle Z = 131º

x = 9.4

y = 6.5

z² = 9.4² + 6.5² − 2×9.4×6.5×cos(131º)

Calculate: 

z² = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)

z² = 130.61 + 80.17...                               

z² = 210.78...                                        
z = √210.78... = 14.5 to 1 decimal place   

Answer: z = 14.5


Did you notice that cos(131º) is negative and this changes the last sign in the calculation to + (plus)? The cosine of an obtuse angle is always negative.
(Napansin mo ba na ang cos (131º) ay negatibo at binago nito ang huling sign sa pagkalkula sa + (plus)? Ang cosine ng isang OBTUSE ANGLE (anggulo na ang sukat ay lampas sa 90 degrees subali't hindi aabot sa 180 degrees) ay laging negatibo.)

b. Given the figure below, find a.

(Image and problem from http://www.ultimatemaths.com)

Write what we have known.

Given:  b = 7 cm ; c = 4 cm; Angle A = 42 degrees

Set the equation.

c. Two buoys, A and B, lie 33 meters apart on the sea surface. There is a crab "C" on the seabed. The angle of depression of C from A is 60° and the distance AC is 40 meters.

Calculate the distance BC.

Illustration:

(Image and problem from https://www.mathopolis.com/)

Mga Hakbang:
1. Ilista ang mga sukat na alam na natin o ang mga givens.

Givens: Angle A = 60 degrees; side AC (or side b) = 40 m; side AB (or side c) = 33 m

Required: Find side BC (or side a)

Formula: a² = b² + c² − 2bc cos(A)

Substitute our values to the formula to find a.

a^2 = 40^2 + 33^2 - 2 x 40 x 33 x cos (60 degrees)
a^2 = 1600   + 1089 - 2640 x 0.500
a^2 = 2689 - 1320
a^2 = 1369
a = square root of 1369
a = 37 m


2. Alam ang mga sukat ng 3 gilid upang hanapin ang sukat ng anggulo na nakapaloob sa 2 gilid.

a. Find Angle "C" Using The Law of Cosines (angle version)


(Image & sample problem from https://www.mathsisfun.com)

Steps:
1. List our Givens:

a = 8
b = 6
c = 7

2. Required: the measure of Angle C

3. Formula:  c² = a² + b² − 2ab cos(C)

4. Substitute our givens to the formula.

7^2 = 8^2 + 6^2 - 2 (8)(6) cos C
49 = 64 + 36 - 96 cos C
49 = 100 - 96 cos C
-51 = -96 cos C
-51/-96 = cos C
cos C = 51/96
cos C = 0.53125
C = cos^-1 (0.53125)    
C = 57.9 degrees (to one decimal place)

NOTE: cos^-1 means arc-cos  and NOT 1/cos.

cos^-1 (0.53125) means "What angle has a cos (cosine) value of 0.53125.
We can answer it by looking at the Trigonometric Table of Values or with a Scientific Calculator.

b. The diagram below shows a vertical pole PQ standing on horizontal ground. R and S are points on the ground. PR = 9.5 m, RS = 6 m and PS = 15 m.

Calculate the angle of elevation of P from R.

(Image and sample problem from https://www.mathopolis.com)

Steps:

1. List our Givens:

side PR (or side q) = 9.5 m

side PS (or side r) = 15 m

side RS (or side p) = 6 m

2. Required: Angle of elevation of P from R or Angle PRQ.

To find Angle PRQ, we need to DEDUCT Angle PRS from 180 degrees.

3. Formula:  r^2 = p^2 + s^2 - 2 (p) (s) Cos R

4. Substitute our Givens to the Formula.

15^2 = 6^2 + 9.5^2 - 2(6)(9.5) Cos R (or Angle PRS)

225 = 36 + 90.25 - 114 Cos R

225 = 126.25 - 114 Cos R

-114 Cos R = 225 - 126.25

-114 Cos R = 98.75

Cos R = 98.75/-114

Cos R = -0.86623

R = Cos^-1 (0.86623)

R = 150.0 degrees (to one decimal place)

Angle PRS = 150.0 degrees

5. Angle PRQ = 180 degrees - Angle PRS

Angle PRQ = 180 - 150

Angle PRQ = 30 degrees

c. Find Angle A.

(Image and sample problem from https://www.mathopolis.com)

Steps:

1. List the Givens.

a = 8; b = 5; c = 9

2. Required: Find Angle A

3. Formula: a² = b² + c² − 2bc cos(A)

4. Substitute our Givens to the Formula.

8^2 = 5^2 + 9^2 - 2(5) (9) cos (A)

64 = 25 + 81 - 90 cos (A)

64 = 106 - 90 cos (A)

-90 cos (A) = 64 - 106

-90 cos (A) = -42

cos (A) = -42/-90

cos (A) = 0.46667

A = cos^-1 (0.46667)  (or arc-cos (0.46667)

A = 62.2 degrees (to one decimal place)

Sana ay naunawaan.