Showing posts with label Law of Cosines. Show all posts
Showing posts with label Law of Cosines. Show all posts

Monday, April 12, 2021

Law of Cosines or Cosine Rule with Sample Problems and Answers

As posted in Wikipedia, " in Trigonometry, the law of cosines (also known as the cosine formula, cosine rule, or al-Kashi's theorem) relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles.

Sa paskel sa Wikipedia, "sa Trigonometry, ang batas ng cosines (kilala rin bilang formula ng cosine, panuntunan sa cosine, o theorem ng al-Kashi) ay nauugnay ang haba ng mga gilid ng isang tatsulok sa cosine (adjacent side/hypotenuse) ng isa sa mga anggulo nito.

The law of cosines states: (Ipinapahayag ng batas ng cosines na:)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

kung saan ang C ay ang anggulo na nilalaman sa pagitan ng mga gilid ng haba a at b at sa tapat ng gilid ng haba c. 

The law of cosines generalizes the Pythagorean theorem, which holds only for right triangles: if the angle C is a right angle (of measure 90 degrees, or π/2 radians), then cos C = 0, and thus the law of cosines reduces to the Pythagorean theorem: (Binuod ng batas ng mga cosines ang Pythagorean theorem, na tumpak lamang para sa mga right angles: kung ang anggulo C ay isang right angle (may sukat na 90 degree, o π / 2 radians), ang cos C = 0, at sa gayon ang batas ng cosines ay nagiging sa teorama ng Pythagorean:)

c2 = a2 + b2

Ang Cosine Rule ay maaari ring isulat na: 

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

Tingnan ang pigura sa ibaba upang maunawaan.

(Image from Calcworkshop.com)

Tiandaan na ang glid (side) na katapat ng Angle A ay a; ang katapat na gilid ng Angle B ay b: at ang katapat na gilid ng Angle C ay c. 

Ang angle o anggulo na nililikha ng gilid a at b ay Angle C; ang anggulo na nililikha ng gilid a at c ay Angle B; at ang anggulo na nililikha ng gilid b at c ay Angle A. Kung aling titik ang wala sa dalawang gilid, iyon ang titik ng anggulo.

Saan ginagamit ang Law of Cosines?

The law of cosines is useful for computing the third side of a triangle when two sides and their enclosed angle are known, and in computing the angles of a triangle if all three sides are known. (Ang batas ng mga cosines ay kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng pangatlong bahagi ng isang tatsulok kapag alam natin ang dalawang gilid at ang kanilang nakapaloob na anggulo, at sa pag-compute ng mga anggulo ng isang tatsulok kung alam ang sukat ng lahat ng tatlong gilid.)

Mga Halimbawa:

1. Alam ang mga sukat ng 2 gilid at ang nilikha nitong anggulo upang hanapin ang sukat ng ikatlong gilid.

a. Find the distance "z". (Hanapin ang distansya o sukat ng "z")

(Image & problem from https://www.mathsisfun.com)

Huwag mababahala sa mga titik na ginamit dahil maaari namang gamitin ang alinman sa mga titik ng Abakada sa magpepresenta ng mga sides at angles. 

Sa halip na a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A),

maaari nating gamitin ang==>

z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z)

Ilagay ang mga value o sukat na alam na natin:

Angle Z = 13

x = 9.4

y = 6.5

z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º)

Calculate: 

z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)
z2 = 130.61 + 80.17...                               
z2 = 210.78...                                        
z = √210.78... = 14.5 to 1 decimal place   

Answer: z = 14.5


Did you notice that cos(131º) is negative and this changes the last sign in the calculation to + (plus)? The cosine of an obtuse angle is always negative.
(Napansin mo ba na ang cos (131º) ay negatibo at binago nito ang huling sign sa pagkalkula sa + (plus)? Ang cosine ng isang OBTUSE ANGLE (anggulo na ang sukat ay lampas sa 90 degrees subali't hindi aabot sa 180 degrees) ay laging negatibo.)

b. Given the figure below, find a.



(Image and problem from http://www.ultimatemaths.com)

Write what we have known.
Given:  b = 7 cm ; c = 4 cm; Angle A = 42 degrees
Set the equation.



c. Two buoys, A and B, lie 33 meters apart on the sea surface. There is a crab "C" on the seabed. The angle of depression of C from A is 60° and the distance AC is 40 meters.
Calculate the distance BC.

Illustration:
(Image and problem from https://www.mathopolis.com/)

Mga Hakbang:
1. Ilista ang mga sukat na alam na natin o ang mga givens.

Givens: Angle A = 60 degrees; side AC (or side b) = 40 m; side AB (or side c) = 33 m

Required: Find side BC (or side a)

Formula: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

Substitute our values to the formula to find a.

a^2 = 40^2 + 33^2 - 2 x 40 x 33 x cos (60 degrees)
a^2 = 1600   + 1089 - 2640 x 0.500
a^2 = 2689 - 1320
a^2 = 1369
a = square root of 1369
a = 37 m


2. Alam ang mga sukat ng 3 gilid upang hanapin ang sukat ng anggulo na nakapaloob sa 2 gilid.

a. Find Angle "C" Using The Law of Cosines (angle version)


(Image & sample problem from https://www.mathsisfun.com)

Steps:
1. List our Givens:

a = 8
b = 6
c = 7

2. Required: the measure of Angle C

3. Formula:  c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

4. Substitute our givens to the formula.

7^2 = 8^2 + 6^2 - 2 (8)(6) cos C
49 = 64 + 36 - 96 cos C
49 = 100 - 96 cos C
-51 = -96 cos C
-51/-96 = cos C
cos C = 51/96
cos C = 0.53125
C = cos^-1 (0.53125)    
C = 57.9 degrees (to one decimal place)

NOTE: cos^-1 means arc-cos  and NOT 1/cos.

cos^-1 (0.53125) means "What angle has a cos (cosine) value of 0.53125.
We can answer it by looking at the Trigonometric Table of Values or with a Scientific Calculator.

b. The diagram below shows a vertical pole PQ standing on horizontal ground. R and S are points on the ground. PR = 9.5 m, RS = 6 m and PS = 15 m.

Calculate the angle of elevation of P from R.


(Image and sample problem from https://www.mathopolis.com)

Steps:

1. List our Givens:

side PR (or side q) = 9.5 m
side PS (or side r) = 15 m
side RS (or side p) = 6 m

2. Required: Angle of elevation of P from R or Angle PRQ.
To find Angle PRQ, we need to DEDUCT Angle PRS from 180 degrees.

3. Formula:  r^2 = p^2 + s^2 - 2 (p) (s) Cos R

4. Substitute our Givens to the Formula.

15^2 = 6^2 + 9.5^2 - 2(6)(9.5) Cos R (or Angle PRS)
225 = 36 + 90.25 - 114 Cos R
225 = 126.25 - 114 Cos R
-114 Cos R = 225 - 126.25
-114 Cos R = 98.75
Cos R = 98.75/-114
Cos R = -0.86623
R = Cos^-1 (0.86623)
R = 150.0 degrees (to one decimal place)
Angle PRS = 150.0 degrees

5. Angle PRQ = 180 degrees - Angle PRS
Angle PRQ = 180 - 150
Angle PRQ = 30 degrees

c. Find Angle A.


(Image and sample problem from https://www.mathopolis.com)

Steps:

1. List the Givens.

a = 8; b = 5; c = 9

2. Required: Find Angle A

3. Formula: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

4. Substitute our Givens to the Formula.

8^2 = 5^2 + 9^2 - 2(5) (9) cos (A)
64 = 25 + 81 - 90 cos (A)
64 = 106 - 90 cos (A)
-90 cos (A) = 64 - 106
-90 cos (A) = -42
cos (A) = -42/-90
cos (A) = 0.46667
A = cos^-1 (0.46667)  (or arc-cos (0.46667)
A = 62.2 degrees (to one decimal place)


Sana ay naunawaan.