Understanding Trigonometry in Taglish: Lesson 7 - The Six Trigonometric Functions

 LESSON 7 – The Six Trigonometric Functions

Pagtutuunan natin sa araling ito ang tungkol sa anim (6) na Trigonometric Functions. Bago natin tukuyin ang mga katangian ng mga ito, balik-aralan muna natin ang mga bahagi ng right triangle kung saan nakabase ang anim na functions ng Trigonometry.

Sinasabing right triangle ang isang trianggulo o tatsulok kung ito ay may isang right angle. Ang right angle ay may sukat na 90 degrees (90^o) o π/2 radian o 1.5708 radians ( 90 x π/180; where π≈ 3.1416).

Pagmasdan ang right triangle sa itaas:

Mayroong  espesyal na pangalan para sa bawat gilid o side ng isang right triangle. Ang dalawang gilid ng ΔXYZ (triangle XYZ)  na bumubuo ng right angle, XZ at YZ, ay tinatawag na mga binti  o legs ng tatsulok. Ang pangatlong gilid, XY, ay tinawag na hypotenuse. Ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng right angle. Ito ang pinakamahabang gilid/side ng right triangle.

Sukatin natin ang haba ng mga gilid ng right triangle:

XY = 25 units YZ = 7 units XZ = 24 units

Ang tatsulok sa itaas ay may 2 acute angles. Alalahanin na acute angle ang tawag sa anggulo o salikop na may sukat na mas malaki sa zero degree ngunit mas mababa sa 90 degrees.

Ang mga acute angles na ito ay ang∠X (angle X) at ∠Y (angle Y).  Ang bawat isa sa mga ito ay naporma sa pamamagitan ng hypotenuse at isang leg o gilid. Ang ∠X ay produkto ng side XY at side XZ, samantalang ang ∠Y ay gawa ng side XY at side YZ.

Ang leg na kasama ng hypotenuse upang makagawa ng acute angle ay tinatawag na adjacent side/leg.

Sa ating halimbawang drawing sa itaas,  ang  leg/side adjacent sa ∠X ay side XZ (o XZ lamang). Ang leg naman adjacent sa ∠Y ay YZ. Dalawa ang side adjacent sa ∠Z; ito ay XZ at YZ.

Opposite side naman ang tawag sa gilid/side/leg na katapat ng angle na pinagbabatayan. Narito ang opposite side ng ating tatlong angle:

∠X ==> YZ ∠Y ==> XZ ∠Z ==>XY

Dapat tandaan na ang opposite side ng right angle (90 degrees) o ∠Z ay ang hypotenuse. Depende sa anggulo o salikop na pinagbabatayan, ang opposite side ng isang acute angle ay maaaring adjacent side naman ng isa pang acute angle at kabaliktaran o vice versa.

Halimbawa, ang opposite side ng ∠X ay YZ, samantalang ang YZ ay siyang adjacent side ng ∠Y; ang XZ ay ang opposite side ng ∠Y, samantalang  ang XZ ay siyang adjacent side ng ∠X .

PAGSASANAY A

Batay sa drawing sa ibaba, sagutin ang mga tanong:

hypotenuse = 

side adjacent to ∠A =

side opposite ∠A =

side adjacent to ∠B =

side opposite ∠B =

side opposite ∠C =

side/s adjacent to ∠C =

2. Batay sa drawing sa ibaba, sagutin ang haba ng mga gilid/side:

hypotenuse = 

side/s adjacent to ∠A =

side opposite ∠A =

side adjacent to ∠B =

side opposite ∠B =

side opposite ∠C =

side adjacent to ∠C =

(Tunghayan ang mga sagot sa ibaba)

Matapos nating malaman ang mga parte o bahagi ng isang right triangle, handa na tayong kilalanin ang anim na trigonometric functions. Ang mga ito ay ginagamit upang hanapin ang nawawalang mga parte ng mga right triangles.

The Six Trigonometric Functions

1. Sine of an Angle

The sine of A is the ratio of the length of the side opposite A to the length of the hypotenuse. The sine of A is abbreviated as sin A.

Ang sine ng A (angle A) ay ang ratio ng haba ng gilid sa tapat ng A sa haba ng hypotenuse. Ang sine ng A ay dinaglat bilang sin A. Samakatuwid,

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

sin Q = opposite/hypotenuse = RS/QS = 9/15 

sin S = opposite/hypotenuse = QR/QS = 12/15

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

sin D = opposite/hypotenuse = EF/DF = 24/26 

sin F = opposite/hypotenuse = DE/DF = 10/26

2. Cosine of an Angle

The cosine of A (angle A) is the ratio of the length of the side adjacent to A and the length of the hypotenuse. The cosine of A is abbreviated as cos A. 

Ang cosine ng A (angle A) ay ang ratio ng haba ng gilid katabi ng A sa haba ng hypotenuse. Ang cosine ng A ay dinaglat bilang cos A. Samakatuwid,

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

cos Q = adjacent/hypotenuse = QR/QS = 12/15 

cos S = adjacent/hypotenuse =  SR/QS = 9/15

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

cos D = adjacent/hypotenuse = DE/DF = 10/26 

cos F = adjacent/hypotenuse = EF/DF = 24/26

3. Tangent of an Angle

The tangent of A (angle A) is the ratio of the length of the side opposite A and the length of the side adjacent to A.  The tangent of A is abbreviated as tan A. 

Ang tangent ng A (angle A) ay ang ratio ng haba ng gilid katapat ng A sa haba ng gilid kalapit ng A. Ang tangent ng A ay dinaglat bilang tan A. Samakatuwid,

                    tan A = length of side opposite  A

        length of side adjacent to A

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

tan Q = opposite/adjacent = SR/QR = 9/12 

tan S = opposite/adjacent =  QR/SR = 12/9

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

tan D = opposite/adjacent = EF/DE = 24/10 

tan F = opposite/adjacent = DE/EF = 10/24

4. Cotangent of an Angle

The cotangent of A (angle A) is the reciprocal of the tangent of A. It is the ratio of the length of the side adjacent to A and the length of the side opposite A.  The cotangent of A is abbreviated as cot A. 

Ang cotangent ng A (angle A) ay ang kabaliktaran ng tangent ng A. Ito ay ang ratio ng haba ng gilid kalapit ng A sa haba ng gilid katapat ng A. Ang cotangent ng A ay dinaglat bilang cot A. Samakatuwid,

                    cot A = length of side adjacent to A

        length of side opposite A

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

cot Q = adjacent/opposite = QR/SR = 12/9 

cot S = adjacent/opposite =  SR/QR = 9/12

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

cot D = adjacent/opposite = DE/EF = 10/24 

cot F = adjacent/opposite = EF/DE = 24/10

5. Secant of an Angle

The secant of A (angle A) is the reciprocal of the cosine of A. It is the ratio of the length of the hypotenuse and the length of the side adjacent to  A.  The secant of A is abbreviated as sec A. 

Ang secant ng A (angle A) ay ang kabaliktaran ng cosine ng A. Ito ay ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng gilid kalapit ng A. Ang secant ng A ay dinaglat bilang sec A. Samakatuwid,

                    sec A = hypotenuse                  

        length of side adjacent to A

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

sec Q = hypotenuse/adjacent = QS/QR = 15/12 

sec S = hypotenuse/adjacent =  QS/SR = 15/9

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

sec D = hypotenuse/adjacent = DF/DE = 26/10 

sec F = hypotenuse/adjacent = DF/EF = 26/24

6. Cosecant of an Angle

The cosecant of A (angle A) is the reciprocal of the sine of A. It is the ratio of the length of the hypotenuse and the length of the side opposite  A.  The cosecant of A is abbreviated as csc A. 

Ang cosecant ng A (angle A) ay ang kabaliktaran ng sine ng A. Ito ay ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng gilid katapat ng A. Ang cosecant ng A ay dinaglat bilang csc A. Samakatuwid,

                csc A =  hypotenuse                  

      length of side opposite A

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

csc Q = hypotenuse/opposite = QS/SR = 15/9 

csc S = hypotenuse/opposite =  QS/QR = 15/12

Pagmasdan ang pigura sa ibaba:

Ayon sa drawing sa itaas, makikita na:

csc D = hypotenuse/opposite = DF/EF = 26/24 

csc F = hypotenuse/opposite = DF/DE = 26/10

PAGSASANAY B

1. Pagmasdan ang drawing sa ibaba at sagutin ang mga tanong:

sin A =                sin C =

cos C =               cos A =

tan A =                tan C =

2.Pagmasdan ang drawing sa ibaba at sagutin ang mga tanong:

sin Y =                 sec Z =         

cos Y =                cot Z =

tan Y =                csc Z

3. If sin B = 8/3, then csc B = ______.

A. 8/3 B. 3/8 C. 3/3 D. 8/8

4. If tan W = 12/13, then 13/12 is ______.

A. csc W         B. sec W         C. cos W         D. cot W

5. Right Δ123 has sides 3, 4, and 5 units. The hypotenuse of the triangle is ______ units.

A. 3         B. 4         C. 5  D. 12

6. Right ΔJKL has sides 9, 12, and 15 cm. If ∠K is the right angle and side JK = 12 cm, then cot L = _____?

A. 9/12 B. 12/15         C. 9/15 D. 12/9

Tandaan

• The two sides of the triangle that form the right angle are called its legs. The third side is called its hypotenuse.

• The leg that helps form an acute angle in a right triangle is said to be adjacent to that angle.

• The same leg is said to be opposite the other acute angle.

• The hypotenuse is always the side opposite the right angle and it is the longest side.

Upang matandaan ang formula para sa sine, cosine, at tangent, alalahanin ito:

SohCahToa, kung saan ang S = sine, o = opposite, h = hypotenuse, C = cosine, at T = tangent. Kaya, 

Soh ==>sine A = o/h or opposite/hypotenuse

Cah==>cosine A = a/h or adjacent/hypotenuse

Toa==>tan A = o/a or opposite/adjacent

Tandaan din na:

Ang cotangent  ay kabaliktaran ng tangent . Kung ang tan A = opposite/adjacent,  ang cot A = adjacent/opposite.

Ang secant ay kabaliktaran ng cosine. Kung ang cos A = adjacent/hypotenuse, ang sec A = hypotenuse/adjacent.

Ang cosecant ay kabaliktaran ng sine. Kung ang sin A = opposite/hypotenuse, ang csc A = hypotenuse/opposite.

SAGOT SA PAGSASANAY

Understanding Trigonometry in Taglish: Lesson 2 - Angles

Isa sa mahihirap na subject sa high school ay ang Trigonometry na ibinibigay kapag nakaabot na sa Grade 10 ang isang mag-aaral. Ang subject ding ito ang madalas ibagsak ng isang estudyante sa kolehiyo dahil kabilang ito sa mga basic subjects na dapat kunin. Kung sa high school ay naka-focus lamang sa simpleng pagkuha ng mga values ng sine, cosine, tangent, at ang kanilang reciprocals - cosecant, secant, at cotangent - ang Trigo, sa kolehiyo ay applications na ng mga trigonometric functions ang ibinibigay na kadalasan ay real word problems.

LESSON 2 – ANGLES (Mga SALIKOP O ANGGULO)

Sa araling ito, malalaman mo kung ano ang anggulo o salikop. Malalaman mo rin ang iba't ibang mga uri ng mga anggulo at kung paano ito sinusukat.

Ang pag-alam tungkol sa mga anggulo ay napakahalaga sapagkat may mga problemang maaari nating harapin na nangangailangan ng kaalaman sa mga anggulo at kanilang mga sukat. Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang din sa paggawa ng ating pang-araw-araw na gawain tulad ng pagsasabi ng oras. 

Isang paraan upang maunawaan ang iba’t ibang uri ng angles ay ang pagmamasid sa isang orasan. Mapapansin na ang isang ordinaryong orasan ay may dalawang kamay, isang maliit at isang malaki. (Huwag muna nating pansinin ang ikatlong maliit na kamay na para sa segundo.) Ang dalawang kamay na ito o ray ay may iisang endpoint. Ang endpoint na ito ay tinatawag ding vertex. Ang angle o salikop ay nalilikha kapag ang dalawang linya ay nagsalubong o nag-intersect sa iisang point.

Paano bibigyan ng pangalan ang isang angle?

Ang isang angle ay maaaring pangalanan sa pamamagitang ng tatlong magkakaibang malalaking titik. Masdan ang larawan sa ibaba. Tatlong anggulo ang nakalarawan dito:

∠ABC (Pagbasa: Angle ABC),    ∠BCA,   at   ∠BAC. Dapat nating tandaan na sa pagbibigay pangalan sa isang salikop, ang ikalawa o gitnang titik ay para sa vertex o ang intersecting point.

Maliban sa 3 malalaking titik, maaari ring pangalanan ang isang angle ng isang titik lamang o isang numero, tulad ng nasa ibabang larawan.

Ilang angles ang nakita mo sa larawan?

                                            

The PROTRACTOR

Ang nakalarawan sa ibaba ay tinatawag na protractor. Ito ay isang aparato na ginagamit upang sukatin ang isang anggulo.

Mag-ingat sa pagbasa ng tamang hanay ng mga numero dahil ang isang protractor ay may dalawang hanay ng mga numero: ang isang hanay ay nagmula sa 0 hanggang 180, ang isa pang hanay ay mula 180 hanggang 0. Alin man sa iyong nabasa ay nakasalalay sa kung paano mo inilalagay ang protractor: ilagay ito upang ang isang gilid ng anggulo ay nakahanay  sa  isa sa mga zero, at basahin ang hanay ng mga numerong iyon upang masukat ang tamang anggulo.

Paano Gumamit ng Protractor?

Upang masukat ang isang anggulo gamit ang isang protractor, sundin ang mga hakbang sa ibaba.

1. I-line up ang vertex ng anggulo gamit ang tuldok sa gitna ng protractor.

2. I-line up ang isang gilid ng anggulo na may 0 degree sa protractor.

3. Basahin ang protractor upang makita kung saan ang isa pang gilid ng anggulo ay tumumbok sa number scale.

    This angle measures 120 degrees, or 120°.

This angle measures 35 degrees, or 35°.

Degree ( ° ) is the unit of measurement for angle.

Pagmasdan ang mga larawan sa ibaba at isulat kung ano ang sukat na anggulo base sa protractor.

Mga Uri ng Anggulo

1. Acute angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay lampas sa zero degree nguni’t mas mababa sa 90 degrees, 

2. Right angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong 90 degrees.

3. Obtuse angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay mas malaki sa 90 degrees subali’t mas mababa sa 180 degrees.

4. Straight angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong180 degrees.

5. Reflex angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay mas malaki sa 180 degrees subali’t mas mababa sa 360 degrees.

6. Complete  or full angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong 360 degrees.

PAGTATASA (Assessment) : Lines and Angles

1. Kung ang dalawang linya ay hindi maaaring makagawa ng isang anggulo, ito ay tinatawag na _______.

A. Intersecting lines

B. Parallel lines

C. Perpendicular lines

D. Straight lines

2. Dalawang linya na makalilikha ng apat na right angles.

A. Intersecting lines

B. Parallel lines

C. Perpendicular lines

D. Straight lines

3. Anong mga anggulo ang malilikha ng dalawang intersecting lines?

A. 2 right at 2 acute angles

B. 4 na acute angles

C. 2 acute at 2 obtuse angles

D. 1 acute, 1 right, at 2 obtuse angles

4. Sa larawan, anong uri ng anggulo ang nilikha ng dalawang kamay ng orasan?

A. Acute angle

B. Right angle

C. Reflex angle

D. Obtuse angle

5. Sa larawan, anong uri ng anggulo ang nilikha ng dalawang kamay ng orasan?

A. Acute angle

B. Right angle

C. Obtuse angle

D. Reflex angle

6. Sa larawan, alin ang obtuse angle?

∠CEG II. ∠CEF

III. ∠BEF IV. BEG

A. I

B.  II and  III

C. II and IV

D. I and IV

7. Alin sa mga sukat ang halimbawa ng isang acute angle?

A. 170 degrees

B.  115 degrees

C.  90 degrees

D. 37 degrees

8. Ano ang sukat ng anggulo na sinukat ng protractor?

A. 60 degrees

B.  65 degrees

C.  120 degrees

D. 180 degrees

9. Ilang obtuse angle ang maaaring kapalooban ng isang straight angle?

A. 0

B.  1

C.  2

D. 4

10. Kung ang isang angle ay may sukat na 18 degrees, anong sukat ang kailangan nito upang maging right angle?

A. 12 degrees

B.  42 degrees

C.  72 degrees

D. 162 degrees

Sa susunod na leksyon ay tatalakayin naman natin ang tungkol sa complementary at supplementary angles, Pythagorean Theorem at kung paano ito magagamit sa paglutas ng mga tunay na  suliranin  na kinasasangkutan ng mga anggulo.

Mga Sagot sa Pagtatasa: