Lesson 6 – Quadratic Equations
Matapos nating mapag-aralan ang tungkol sa linear equations at ang kaugnayan ng mga ito sa pagresolba ng mga problema sa pang-araw-araw na buhay, dadako naman tayo sa quadratic equations.
Ang quadratic equation na may isang variable/unknown ay isang equation kung saan ang pinakamataas na exponent ng variable ay 2.
Ang karaniwang anyo ng isang quadratic equation na may isang variable na kinakatawan ng x ay:
ax2 + bx + c = 0
kung saan ang a, b, at c ay mga constant at ang a ≠ 0.
Ang pinakakaraniwang ginagamit na paraan sa paglutas ng mga quadratic equation ay ang mga sumusunod:
Solving Quadratic Equations by Factoring
1. Ang factoring o pag-factor ay ang pinakamadaling paraan ng paglutas ng mga quadratic equation. Gayunpaman, nangangailangan ito ng kasanayan sa iba't ibang mga pamamaraan ng factoring. Bukod dito, hindi lahat ng quadratic equation ay malulutas sa pamamagitan ng factoring.
Upang malutas ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng factoring, sundin ang mga hakbang na ito:
a. Ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation upang ang kanang bahagi ay maging katumbas ng zero.
b. Pasimplehin at i-factor ang quadratic expression na karaniwan na isang trinomial.
c. Ang bawat isa sa mga factor ay isa na ngayong linear equation. I-equate ang bawat factor sa 0 at lutasin ang bawat linear equation para sa hinahanap na variable.
HALIMBAWA 1
Solve for x in the equation 12x² - 9 = -10x + 3
Step 1: Ilipat ang lahat ng terms sa kaliwang panig.
12x² - 9 = -10x + 3
12x2 – 9 + 10x - 3 = -10x + 3 + 10x - 3
12x2 +10x – 12 = 0
Step 2: Simplihen at i-factor
12x2 + 10x – 12 = 0
6x2 + 5x - 6 = 0
(2x + 3) (3x – 2) = 0
Step 3: I-solve nang magkahiwalay ang dalawang factors.
2x + 3 = 0 at 3x – 2 = 0
2x = -3 3x = 2
2𝑥/2 = −3/2 3𝑥/3 = 2/3
𝑥 = −3/2 𝑥 = 2/3
Step 4: State your final answer.
There are two roots, namely −𝟑/𝟐 and 𝟐/𝟑.
Solving Quadratic Equations by Completing the Square
2. Ang completing the square ay ginagawa sa pamamagitan ng pagsunod sa mga hakbang na ito:
a. Ilipat ang lahat ng constant term sa kanang bahagi ng equation.
b. Hatiin o i-multiply ang magkabilang panig ng equation upang ang maging coefficient ng x2 ay 1.
c. Tukuyin ang constant na idaragdag sa kaliwang bahagi ng equation upang ito ay maging isang perpektong trinomial. Idagdag din ang constant na ito sa kanang panig ng equation. Ang constant na idaragdag ay ang square ng kalahati ng numerical coefficient ng linear term (bx).
d. I-factor ang kaliwang bahagi ng equation.
e. I-extract ang square root ng bawat panig ng equation. Ang square root ng kaliwang bahagi ng equation ay linear na ngayon at ito ay katumbas sa
± square root sa kanang bahagi ng equation.
f. Lutasin ang bawat isa sa mga linear na equation para makuha ang mga root.
HALIMBAWA 2
Solve for x in the equation 3x2 – 36x + 42 = 0.
Step 1: Ilipat ang constant sa kanang panig ng equation.
3x2 – 36x + 42 = 0
3x2 -36x = -42
Step 2: Hatiin o i-multiply ang equation upang maging 1 ang coefficient ng x2.
Sa ating problema, magagawa natin ito sa ating equation kung idi-divide natin ito ng 3.
3x2 -36x = -42
x2 – 12x = - 14
Step 3: Complete the square.
Paano ito gagawin?
Ang numerical coefficient ng linear term na -12x ay -12. Ang kalahati ng -12 ay -6 at ang square ng -6 ay 36.
Kaya ang constant na idaragdag sa magkabilang panig ng equation ay 36.
x2 – 12x = - 14
x2 -12x + 36 = -14 + 36
x2 – 12x + 36 = 22
Step 4: I-factor ang kaliwang panig ng equation.
x2 – 12x + 36 = 22
(x – 6) (x – 6) = 22
(x – 6)2 = 22
Step 5: Kunin ang square root ng bawat panig ng equation.
(x – 6)2 = 22
Step 6: Kunin ang value ng x.
Step 7: State your final answer.
The roots of the equation are 
Solving Quadratic Equations Using the Quadratic Formula
3. Maaaring gamitin ang quadratic formula upang malutas ang anumang quadratic equation.
Sundin ang mga hakbang na ito sa paggamit ng quadratic equation.
a. Ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation upang ang kanang bahagi ay maging katumbas ng zero.
b. Pasimplehin ang equation.
c. Gamitin ang quadratic formula kung saan:
a = ang coefficient ng quadratic term (ax2);
b = ang coefficient ng linear term (bx) ; at
c = ang constant.
HALIMBAWA 3
Solve for h in the equation 3h2 – 15h = -18
Step 1: Ilipat ang lahat ng termino sa kaliwang panig ng equation upang maging zero ang kanang panig.
3h2 – 15h = -18
3h2 – 15h + 18 = -18 + 18
3h2 – 15h + 18 = 0
Step 2: Gawing simple ang equation.
3h2 – 15h + 18 = 0
h2 – 5h + 6 = 0
Step 3: Tukuyin ang value ng a, b, at c sa equation.
h2 – 5h + 6 = 0
a = 1 b = -5 c = 6
Step 4: Kunin ang value (roots) ng h gamit ang quadratic formula.
Thus, the roots of our equation are 3 and 2.
Step 5: Optional. Check the answer.
For h = 3
3h2 – 15h = -18
3(3)2 – 15(3) ≟ -18
3(9) – 45 ≟ -18
27 – 45 ≟ -18
-18 = -18
For h = 2
3h2 – 15h = -18
3(2)2 – 15(2) ≟ -18
3(4) – 30 ≟ -18
12 – 30 ≟ -18
-18 = -18
REMEMBER
1 - A quadratic equation is an equation in which the highest power (exponent) of any of its variables is 2.
2 - The standard form of a quadratic equation with a single variable, x, is
ax2 + bx + c = 0 where a, b, and c are constants and a ≠ 0.
3 – There are three ways in solving quadratic equations: factoring, completing the square, and using the quadratic formula.
4 – You can only use the completing the square method as long as the coefficient of x2 is 1.
5 – The formula for the quadratic equation is:
6 - When using the quadratic formula, you should be aware of three possibilities. These three possibilities are distinguished by a part of the formula called the discriminant. The discriminant is the value under the radical sign, b2 – 4ac.
A quadratic equation with real numbers as coefficients can have the following:
a. Two different real roots if the discriminant b2 – 4ac is a positive number (greater than zero).
b. One real root if the discriminant b2 – 4ac is equal to 0.
c. No real root if the discriminant b2 – 4ac is a negative number (less than zero).
--o0o--
Sanggunian: ALS Module: Equations 2
