Understanding Trigonometry in Taglish: Lesson 3 - Pythagorean Theorem

LESSON 3 – PYTHAGOREAN THEOREM

Sa unang dalawang leksyon ay napag-aralan natin ang tungkol sa mga uri ng linya at mga uri ng anggulo o salikop. Ngayon naman, nakatakda nating alamin ang Pythagorean Theorem at paano ito makatutulong upang lalo pa nating maunawaan ang Trigonometry.

Bago ito, alamin muna natin kung ano ang sinasabing complementary at supplementary angles.

Complementary angles = ang dalawang anggulo ay complementary kung ang suma o total ng kanilang mga angles ay 90 degrees (90^o).

Ibig sabihin, ∠A  +  ∠B = 90^o

If ∠XYZ  = 36^o     and  ∠ 345 = 54^o, then we can say that ∠XYZ is a complement of ∠345  (and vice versa) because their sum is 90^o.  We can also say that because the sum of their angles is 90^o, ∠XYZ and ∠345 are complementary angles.

Supplementary angles = ang dalawang anggulo ay supplementary kung ang suma o total ng kanilang mga angles ay 180 degrees (180^o).

Ibig sabihin, ∠V  +  ∠W = 180^o

If ∠DEF  = 45^o     and  ∠ 123 = 135^o, then we can say that ∠DEF is a supplement of ∠123  (and vice versa) because their sum is 180^o.  We can also say that because the sum of their angles is 180^o, ∠DEF and ∠123 are supplementary angles.

Base sa kanilang depinisyon, ang angle na mabubuo ng dalawang complementary angles ay right angle (dahil ang sukat nito ay 90 degrees).  Straight angle naman ang mabubuo ng dalawang supplementary angles (dahil ang sukat nito ay 180 degrees).

PAGSASANAY

1. Give the complement of  ∠ABC if its measure is 37^o.

A. 153^o

B. 143^o

C. 53^o

D. 43^o

2. If two angles are right angles, then they are ___.

A. complementary

B. supplementary

C. straight angles

D. obtuse angles 

3. Tukuyin ang mga complementary angles sa larawan:

        A. ∠AXB at ∠BXD

B. ∠BXC at ∠CXD

C. ∠AXC at ∠CXD

D. ∠AXB at ∠BXC

4. Ano ang supplementary angle ng ∠AXB sa larawan?

        A. ∠BXC only

B. ∠AXD only

C. Both ∠BXC at ∠AXD

D. ∠DXC

5. If ∠PUJ is 25^o, then the measure of its supplement is ________?

        A. 20^o

B. 65^o

C. 155^o

D. 335^o

Ang aralin sa Pythagorean Theorem ay mahalaga sapagkat ito ay magtuturo sa iyo kung paano malutas ang mga problema sa totoong buhay na may kinalaman sa mga anggulo. Ngunit kailangan mo munang magkaroon ng kaalaman tungkol sa square root ng isang numero upang maunawaan nang mabuti ang araling ito.

Ano ang SQUARE ROOT?

Sa Matematika, ang square root ay isang factor ng isang numero na, kapag minultiply sa kanyang  sarili, ay nagbibigay ng orihinal na numero. 

Halimbawa, ang 3 at –3 ay parehong factor ng 9. Kapag minultiply ang 3 sa kanyang sarili, 3 x 3 o 3², makukuha ang 9 dahil 3 x 3 = 9 o 3² = 9.  Gayundin, kapag minultiply ang -3 sa kanyang sarili, (-3) x  (-3)  o (-3²), makukuha ang 9 dahil (-3) x (-3) = 9 o (-3²) = 9. Kung ganoon, masasabi na ang square root ng 9 ay 3 at (-3) [negative 9].

Sa iba pang paliwanag, ang square root ng isang bilang na kinakatawan ng x ay isang bilang na kinakatawan ng y tulad ng y² = x; sa madaling salita, ang bilang y ay ang square root ng  x. Halimbawa, ang 5 at −5 ay square root ng 25, dahil 5² =(-5²)= 25.

Paano makukuha ang square root ng isang numero?

Isang paraan upang makuha ang square root ng isang bilang ay isipin lamang ang mga factors ng bilang na iyon. Kapag minultiply mo ng 2 beses ang factor na iyong napili at lumabas ang bilang na iyon, ang factor na iyong napili ay ang square root ng bilang na iyon.

Halimbawa:

Ano ang square root ng 64?

Step 1: Isulat ang mga factors ng 64.

Ano ang factors ng isang bilang?

Ang mga ito ay ang mga numero na kapag minultiply mo ay makukuha mo ang bilang na binanggit. 

Ano –ano ang factors ng 64?

Ang mga factors ng 64 ay 1, 2, 4, 8, 16, 32, at 64 dahil:

1 x 64 = 64 2 x 32 = 64

4 x 16 = 64 8 x 8 = 64

        Step 2: Piliin ang numero na inulit ng 2 beses para makuha ang 64.

Sa mga numerong nasa itaas, mapapansin na ang square root ng 64 ay 8 dahil 8² =64. Gayunman, malalaman din natin sa susunod na mga lesson na 2 ang square root ng isang bilang, isang positive at isang negative. Kaya, square root din ng 64 ang -8 (negative 8) dahil (-8²) = 64.

Matapos nating malaman kung ano ang square root ng isang bilang at kung paano ito makukuha, handa na tayong pag-aralan ang Pythagorean Theorem. Pero bago ito, kilalanin muna natin si Pythagoras na siyang pinagmulan ng teoryang ito.

Sino si Pythagoras?

Si Pythagoras ng Samos (c. 570 - c. 495 BC) ay isang sinaunang pilosopong Greek na Ionian at ang eponymous na nagtatag ng Pythagoreanism. Ang kanyang mga katuruang pampulitika at pangrelihiyon ay kilalang kilala sa Magna Graecia at naiimpluwensyahan ang mga pilosopiya ni Plato, Aristotle, at, sa pamamagitan nila, pilosopiya sa Kanluranin. Ang kaalaman sa kanyang buhay ay nalilimutan ng alamat, ngunit lumilitaw na siya ay anak ni Mnesarchus, isang mang-uukit ng mutya sa isla ng Samos. (Wikipedia)

Ano ang Pythagorean Theorem o Pythagoras’ Theorem ?

Sa Matematika, ang teorya ng Pythagorean, o teorya ng Pythagoras, ay isang pangunahing kaugnayan sa Euclidean Geometry sa mga tatlong panig/gilid ng isang right triangle. Nakasaad dito na ang area ng parisukat na ang panig ay ang hypotenuse (ang gilid sa tapat ng right angle) ay katumbas ng kabuuan ng mga area ng mga parisukat sa iba pang dalawang panig. Ang teoryang ito ay maaaring nakasulat bilang isang equation na nauugnay sa haba ng mga gilid ng a, b at c, na madalas na tinatawag na Pythagorean equation:

a² + b² = c² 

kung saan kumakatawan sa c ang haba ng hypotenuse at a at b ang haba ng iba pang dalawang panig/gilid ng tatsulok.

Upang maunawaan natin nang lubusan ang kahalagahan ng Pythagorean Theorem, magbigay tayo ng halimbawa sa tunay na buhay.

Masdan natin ang larawan sa ibaba:

Anong anggulo ang nabuo ng hagdan at ng lupa?

Kung ang sagot mo ay right angle, tama ka.

Ano ang distansya mula sa lupa hanggang sa tuktok ng slide (o haba ng hagdan)? 

Kung ang sagot mo ay 3 units, magaling!

Gaano kalayo ang ibabang bahagi ng hagdan hanggang sa ibabang bahagi ng slide?

Tama ka kung 4 units ang iyong sagot.

Ngunit paano natin makalkula ang haba ng slide? Magagawa natin ito sa pamamagitan ng paggamit ng Pythagorean theorem base sa ibinigay na haba ng hagdan at ang distansya mula sa ibabang dulo ng slide hanggang sa ibabang dulo ng hagdan.

Sa ating aktibidad, ang hagdan at ang lupa ay bumuo ng isang right angle. Kaya, isang right triangle ay nabuo kasama ang slide.

Ang  right triangle ay tatsulok na may right angle. Ang gilid na katapat ng right angle ay tinatawag na hypotenuse. Ang dalawang gilid naman ay tinatawag na legs.

Mapapansin sa larawan na ang pinakamahabang side o gilid ay ang hypotenuse.

Ang dalawang legs ay maaaring tawaging adjacent at opposite side depende kung anong anggulo ang pinagbabatayan. Ang opposite side ay katapat ng anggulong batayan. Adjacent side naman ang tawag sa gilid ng angle na binabanggit.

Tulad nang nabanggit sa itaas, upang makalkula ang haba ng isang gilid ng isang tatsulok, magagamit natin ang teorya ng Pythagorean na nagsasaad na:

Sa isang right triangle, ang square ng hypotenuse ay katumbas ng square ng isang gilid (opposite side) kasama ang square ng isa pang gilid (adjacent side).

Ang ibig sabihin ng square ng hypotenuse ay i-multiply ang sukat ng hypotenuse sa kanyang sarili.

Kung ang sukat ng hypotenuse ay kinakatawan ng titik c, ang square ng hypotenuse ay c x c  or c².

Gayundin ang paglalarawan nito sa dalawa pang gilid.

Square ng opposite side = a x a or a²

Square ng adjacent side = b x b or b²

Pagsamahin natin ang lahat ng mga gilid upang mabuo natin ang Pythaghorean formula:

c² = a² + b²   or a² + b²  = c²

Balikan natin ang larawan sa itaas at kalkulahin natin ang sukat ng slide, gamit ang formula sa itaas.

I-presenta natin ang sukat ng hagdan bilang titik a, at tiktik b naman ang distanya mula sa ibaba ng hagdan hanggang ibaba ng slide. Ang sukat naman ng slide ay titik c. 

Base sa larawan, lagyan natin ng value ang mga titik:

a = 3

b = 4

c =  ?

Gamit ang formula sa ibaba, kalkulahin natin ang sukat ng slide:

c² = a² + b²

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

c =  25^1/2  or √𝟐𝟓

c = 5 at (-5)  [Disregard -5 because we are only interested in positive value]

c = 5 units  final answer

Upang lubos na maunawaan pa ang tungkol sa Pythagorean Theorem, sasagutin natin sa susunod na leksyon ang ilang pagsasanay na problema na may kinalaman sa tunay na buhay na kinasasangkutan ng right triangles.

Dapat natin tandaan sa ngayon na ang Pythagorean Theorem ay akma lamang kung ang tatsulok o triangle ay right triangle. Hindi ito angkop sa iba pang uri ng tatsulok tulad ng  isosceles, equilateral, scalene, obtuse, at acute triangle.

May iba pang mga paraan upang makuha ang square root ng isang bilang. Ito ay tatalakayin sa ibang leksyon.

Mga sagot sa pagsasanay:

1. C

2. B

3. B

4. C

5. C

Understanding Trigonometry in Taglish: Lesson 2 - Angles

Isa sa mahihirap na subject sa high school ay ang Trigonometry na ibinibigay kapag nakaabot na sa Grade 10 ang isang mag-aaral. Ang subject ding ito ang madalas ibagsak ng isang estudyante sa kolehiyo dahil kabilang ito sa mga basic subjects na dapat kunin. Kung sa high school ay naka-focus lamang sa simpleng pagkuha ng mga values ng sine, cosine, tangent, at ang kanilang reciprocals - cosecant, secant, at cotangent - ang Trigo, sa kolehiyo ay applications na ng mga trigonometric functions ang ibinibigay na kadalasan ay real word problems.

LESSON 2 – ANGLES (Mga SALIKOP O ANGGULO)

Sa araling ito, malalaman mo kung ano ang anggulo o salikop. Malalaman mo rin ang iba't ibang mga uri ng mga anggulo at kung paano ito sinusukat.

Ang pag-alam tungkol sa mga anggulo ay napakahalaga sapagkat may mga problemang maaari nating harapin na nangangailangan ng kaalaman sa mga anggulo at kanilang mga sukat. Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang din sa paggawa ng ating pang-araw-araw na gawain tulad ng pagsasabi ng oras. 

Isang paraan upang maunawaan ang iba’t ibang uri ng angles ay ang pagmamasid sa isang orasan. Mapapansin na ang isang ordinaryong orasan ay may dalawang kamay, isang maliit at isang malaki. (Huwag muna nating pansinin ang ikatlong maliit na kamay na para sa segundo.) Ang dalawang kamay na ito o ray ay may iisang endpoint. Ang endpoint na ito ay tinatawag ding vertex. Ang angle o salikop ay nalilikha kapag ang dalawang linya ay nagsalubong o nag-intersect sa iisang point.

Paano bibigyan ng pangalan ang isang angle?

Ang isang angle ay maaaring pangalanan sa pamamagitang ng tatlong magkakaibang malalaking titik. Masdan ang larawan sa ibaba. Tatlong anggulo ang nakalarawan dito:

∠ABC (Pagbasa: Angle ABC),    ∠BCA,   at   ∠BAC. Dapat nating tandaan na sa pagbibigay pangalan sa isang salikop, ang ikalawa o gitnang titik ay para sa vertex o ang intersecting point.

Maliban sa 3 malalaking titik, maaari ring pangalanan ang isang angle ng isang titik lamang o isang numero, tulad ng nasa ibabang larawan.

Ilang angles ang nakita mo sa larawan?

                                            

The PROTRACTOR

Ang nakalarawan sa ibaba ay tinatawag na protractor. Ito ay isang aparato na ginagamit upang sukatin ang isang anggulo.

Mag-ingat sa pagbasa ng tamang hanay ng mga numero dahil ang isang protractor ay may dalawang hanay ng mga numero: ang isang hanay ay nagmula sa 0 hanggang 180, ang isa pang hanay ay mula 180 hanggang 0. Alin man sa iyong nabasa ay nakasalalay sa kung paano mo inilalagay ang protractor: ilagay ito upang ang isang gilid ng anggulo ay nakahanay  sa  isa sa mga zero, at basahin ang hanay ng mga numerong iyon upang masukat ang tamang anggulo.

Paano Gumamit ng Protractor?

Upang masukat ang isang anggulo gamit ang isang protractor, sundin ang mga hakbang sa ibaba.

1. I-line up ang vertex ng anggulo gamit ang tuldok sa gitna ng protractor.

2. I-line up ang isang gilid ng anggulo na may 0 degree sa protractor.

3. Basahin ang protractor upang makita kung saan ang isa pang gilid ng anggulo ay tumumbok sa number scale.

    This angle measures 120 degrees, or 120°.

This angle measures 35 degrees, or 35°.

Degree ( ° ) is the unit of measurement for angle.

Pagmasdan ang mga larawan sa ibaba at isulat kung ano ang sukat na anggulo base sa protractor.

Mga Uri ng Anggulo

1. Acute angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay lampas sa zero degree nguni’t mas mababa sa 90 degrees, 

2. Right angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong 90 degrees.

3. Obtuse angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay mas malaki sa 90 degrees subali’t mas mababa sa 180 degrees.

4. Straight angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong180 degrees.

5. Reflex angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay mas malaki sa 180 degrees subali’t mas mababa sa 360 degrees.

6. Complete  or full angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong 360 degrees.

PAGTATASA (Assessment) : Lines and Angles

1. Kung ang dalawang linya ay hindi maaaring makagawa ng isang anggulo, ito ay tinatawag na _______.

A. Intersecting lines

B. Parallel lines

C. Perpendicular lines

D. Straight lines

2. Dalawang linya na makalilikha ng apat na right angles.

A. Intersecting lines

B. Parallel lines

C. Perpendicular lines

D. Straight lines

3. Anong mga anggulo ang malilikha ng dalawang intersecting lines?

A. 2 right at 2 acute angles

B. 4 na acute angles

C. 2 acute at 2 obtuse angles

D. 1 acute, 1 right, at 2 obtuse angles

4. Sa larawan, anong uri ng anggulo ang nilikha ng dalawang kamay ng orasan?

A. Acute angle

B. Right angle

C. Reflex angle

D. Obtuse angle

5. Sa larawan, anong uri ng anggulo ang nilikha ng dalawang kamay ng orasan?

A. Acute angle

B. Right angle

C. Obtuse angle

D. Reflex angle

6. Sa larawan, alin ang obtuse angle?

∠CEG II. ∠CEF

III. ∠BEF IV. BEG

A. I

B.  II and  III

C. II and IV

D. I and IV

7. Alin sa mga sukat ang halimbawa ng isang acute angle?

A. 170 degrees

B.  115 degrees

C.  90 degrees

D. 37 degrees

8. Ano ang sukat ng anggulo na sinukat ng protractor?

A. 60 degrees

B.  65 degrees

C.  120 degrees

D. 180 degrees

9. Ilang obtuse angle ang maaaring kapalooban ng isang straight angle?

A. 0

B.  1

C.  2

D. 4

10. Kung ang isang angle ay may sukat na 18 degrees, anong sukat ang kailangan nito upang maging right angle?

A. 12 degrees

B.  42 degrees

C.  72 degrees

D. 162 degrees

Sa susunod na leksyon ay tatalakayin naman natin ang tungkol sa complementary at supplementary angles, Pythagorean Theorem at kung paano ito magagamit sa paglutas ng mga tunay na  suliranin  na kinasasangkutan ng mga anggulo.

Mga Sagot sa Pagtatasa: