Lesson 4 - Solving Systems of Linear Equations by Graphing | ALS Module Equations 2

 NOTES

        1. This tutorial in Taglish is based on Module: Equations 2 prepared and published by the Department of Education of the Philippines for the Alternative Learning System (ALS) program.

        2. Sorry for any typographical and/or grammatical error that has been missed.

       3. Please comment for any incorrect answers.

=================================================

        

Matapos nating mapag-aralan ang mga araling nakapaloob sa ALS Module Equations 1, dadako naman tayo sa ALS Module Equations 2 upang pag-aralan din ang mga leksyon dito. Ang mga ito ay magbibigay sa iyo ng karagdagang kaalaman sa pangunahing konsepto ng balance o equality na kinakatawan mathematically ng mga equation. Ito ay magtuturo sa iyo ng higit pa tungkol sa mga konsepto ng mga equation at kung paano ito makakatulong sa iyong lutasin ang mga problemang nangyayari sa iyong pang-araw-araw na buhay.

        Sa pagpapatuloy ng ating pag-aaral hinggil sa equation, ang bahaging ito ay kinabibilangan ng tatlong aralin:

Lesson 4 — Systems of Linear Equations 

Lesson 5 — Applications of Linear Equations 

Lesson 6 — Quadratic Equations

Ano ang Matutunan Mo sa Modyul na Ito?

        Pagkatapos mong pag-aralan ang modyul na ito, dapat ay kaya mo nang:

• 1-solve ang mga sistema ng mga linear na equation;

• gumamit ng mga linear na equation sa paglutas ng mga word problems; at

• mahanap ang mga values ng x sa ibinigay na mga quadratic equation

Lesson 4 — Systems of Linear Equations 

MATUTO TAYO

        Sa nakaraang module, natutunan nain kung paano i-graph ang isang linear equation na may dalawang variable sa pamamagitan ng paggamit ng x-intercept at ng y-intercept o sa pamamagitan ng paggawa ng table of values. Sa araling ito, muli nating tatalakayin ang mga linear equation na may dalawang variable. Ngunit sa pagkakataong ito, lulutasin natin ang dalawang linear equation na may 2 unknowns hindi lamang sa pamamagitan ng graph kundi pati na rin sa paggamit ng Algebra.

        Ang systems ng equation na katulad ng set na ibinigay sa itaas ay tinatawag na simultaneous equations dahil ang dalawang equation ay kumakatawan sa dalawang kundisyon na ipinataw nang sabay sa mga variables. Ang mga values ng mga variables na nakakatugon sa parehong equations ay sinasabing mga solutions of system of equations. Sa graph, ang bawat solusyon ay tumutugma sa isang punto ng intersection ng mga graph ng dalawang equations.

Halimbawa 1

        Solve the following graphically then check.

x + y = 6

       -3x + y = 2

        Maaari naming i-graph ang isang linear equation sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan ng mga ordered pairs o sa pamamagitan ng paggamit ng x- at ang y-intercepts. Gamitin natin ang mga intercepts.

        Para sa x + y = 6

    Kapag x =0, 0 + y = 6

                      y = 6

        Samakatuwid ang (0,6) ay isang solution.

        Kapag ang y = 0, x + 0 = 6

               x = 6

Samakatuwid, ang (6, 0) ay isa ring solution.

Para sa -3x + y = 2

Kapag x =0, -3(0) + y = 2 

                                               0 + y = 2

             y = 2

Samakatuwid, ang (0, 2) ay isang solution.

Kapag y = 0,         -3x + 0 = 2 

                                              -3x = 0

         -3x/-3 = 2/-3

                 x = -2/3

Samakatuwid, ang (-2/3, 0) ay isa ring solution.

        Ito ang magiging graph ng dalawang equations kapag inilapat natin ang kanilang mga solutions sa coordinate plane.  

        Makikita sa graph na ang point  (1, 5) ay isa ring posibleng solution. I-check natin sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa ating orihinal na equations.

Para sa x + y = 6  ==>1 + 5 ≟ 6 ==> 6 = 6

Para sa -3x + y = 2 ==> -3 + 6 ≟ 2 ==> 2 = 2

        Samakatuwid, ang solution para sa ibinigay na system of linear equations ay

                             (1, 5).

Halimbawa 2

        Solve this system by graphing:

-4x + 10y = 6

 2x – 5y = 3

Para sa -4x + 10y = 6

Kapag x =0, -4(0) + 10y = 6

                                                      0 + 10y = 6 

                                                       10y/10 = 6/10 

                                                     y = 6/10 = 3/5

Samakatuwid, ang (0, 3/5) ay isang solution.

Kapag y = 0,         -4x + 10(0) = 6

                                             -4x + 0 = 6 

                                                             -4x = 6 

                                                         -4x/-4 = 6/-4 

                                                                 x = -3/2 o -1 ½

Samakatuwid, ang (-3/2, 0) ay isa ring solution.

         Para sa 2x – 5y = 3

Kapag x = 0,             2(0) – 5y = 3 

                                                 0 – 5y = 3 

                                                         -5y/-5 = 3/-5 

                                                                 y = -3/5

Samakatuwid, ang (0, -3/5) ay isang solution.

Kapag y = 0,             2x – 5(0) = 3 

                                                         2x – 0 = 3 

                                                            2x/2 = 3/2 

                                                                 x = 3/2 o 1 ½.

Samakatuwid, ang ( 3/2, 0) ay isa ring solution.

        I-plot ang mga solutions ng dalawang equations sa coordinate plane

        Mapapansin na ang dalawang linya ay parallel. Wala silang magkaparehong point o hindi sila nag-intersect. Upang masuri kung sila nga ay parallel, i-solve kung pareho ang kanilang mga slopes

        Para sa -4x + 10y = 6 (Gawin ito sa pormang y = mx + b)

                    10y = 4x + 6

               10y/10 = 4x/10 + 6/10

                        y = 2/5x + 3/5

        Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay 3/5.

        Para sa 2x - 5y = 3

                            -5y = -2x + 3

                       -5y/-5 = -2x/-5 + (3/-5)    

                              y = 2/5x - 3/5

Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay -3/5.

        Dahil magkapareho ang slope ng dalawang equations, masasabing no solution ang system. Ang solution set ay {} o null set.

Halimbawa 3

        Solve the following by graphing:

y = -2x + 1

2x + y = 1

Para sa y = -2x + 1

                    Kapag ang x = 0,  y = 2(0) + 1 

                                                        y = 0 + 1

                y = 1

Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.

Kapag ang y = 0,         0 = -2x + 1 

                                                    -2x = -1

        -2x/-2 = -1/-2 

                                                       x = 1/2 

Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.

                Para sa 2x + y = 1

                    Kapag ang x = 0,  2(0) + y = 1 

                                                            0 + y = 1

                          y = 1

Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.

Kapag ang y = 0,         2x + 0 = 1 

                                                              2x = 1

                   2x/2 = 1/2 

                                                                x = 1/2 

Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.

    Mapupuna na ang dalawang equations ay may magkaparehong solution sets. 

            Kapag nai-plot natin ang solution sets ng dalawang equations, ito ang kalalabasan ng kanilang graph: 

            Mapapansin na ang mga graphs ng dalawang equations ay magkapareho o ang mga ito ay nag-coincide o nagkalapat. Ang mga solutions ng sistema ay ang mga ordered pairs na (0, 1) at (1/2, 0) sa alinmang equation.

            Mapapatunayan nating magkapareho nga ang graph ng dalawang equation o ang mga ito ay nagkalapat kung ang kanilang mga slopes at y-intercept ay magkapareho. Tingnan natin.

            Para sa y = -2x + 1,  dahil ang equation ay nasa slope-intercept na, ang slope nito ay -2 at ang y-intercept ay 1.

            Para sa 2x + y = 1, gawin muna natin ito sa slope-intercept form:   

2x + y = 1 ==> 2x – 2x + y = -2x + 1 ==> y = -2x + 1. Ang slope ay -2 at ang y-intercept ay 1. 

            Dahil ang dalawang equations ay may magkaparehong slope at y-intercept, sila ay tinatawag na equivalent equations.

    Ang kanilang solution set ay isang infinite o walang katapusang set na maaaring isulat ng ganito:

     {( x,y) |  2x + y =  1}

            at basahin bilang “the solution set is the set of all ordered pairs (x, y) such that 2x + y = 1”.

Summary

To solve a system of linear equations in two variables graphically, first, graph the equations on the same coordinate plane. Then consider the following:

1. If the graphs are parallel, the system has no solution.

2. If the graphs coincide, the system has an infinite set of solutions.

3. If the graphs intersect, the coordinates of the point of intersection form the solution of the system.

Pagsasanay

1. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.

(3,2) 2x + 3y = 12

        x – 4y = -5

2. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.

(2, 5) y = -x + 7

        2x = y – 1

3. Graphically, find the solution set of the system: 

                        x - 2y = 1

                        x -   y = 2 

4. Graphically, find the solution set of the system: 

                        y = 2x + 4

                        2x -  y = 2 

 5. Find the solution set of the system:

                          x = y

                        x + y = 3 by graphing. Use fractions if necessary.

6. Solve this system of equations graphically and check your solution:

                        x = y + 1

                                2x + y = -7

ANSWERS:

Lesson 3 - Linear Equations In Two Variables: Learn Algebra in Taglish

 Lesson 3 – Linear Equations In Two Variables

        Sa nakaraang aralin ay nalaman natin ang mga konsepto at terminong karaniwang ginagamit sa Algebra. Natuto tayong mag-solve ng linear equation na may iisang variable o unknown.

Sa araling ito ay pagtutuunan naman natin ang pagresolba ng linear equations na may dalawang variables o unknowns.

MATUTO TAYO

        Ang isang equation tulad ng 4x + 5 = 21 ay may isang value, 4, bilang solusyon nito. Ang isang equation na may dalawang variable tulad ng y = 2x + 1 ay may maraming solusyon na maaari nating isulat bilang ordered pairs ng mga numero.

         Para sa isang equation tulad ng y = 2x + 1, isinusulat natin ang ordered pairs sa ganitong anyo,   (x, y).

Halimbawa 1

Determine whether (3, 7) is a solution of y = 3x - 2. (Tukuyin kung ang (3,7) ay isang solusyon ng y = 3x – 2)

Para gawin ito, ihalili lamang ang ordered pair (x, y) ==> (3,7) sa equation, tulad nito:

y = 3x – 2

7 ≟ 3(3) – 2

7 ≟ 9 – 2

7 = 7 

Samakatuwid, ang equation ay tama. Ang ordered pair na (3,7) ay isang solution ng y = 3x -2.

        We can find solutions to equations in two variables by choosing a value for one variable, substituting it, and computing the equation to find the value of the other variable. (Maaari tayong makahanap ng mga solusyon sa mga equation na may dalawang variables/unknowns sa pamamagitan ng pagpili o paglapat ng isang value sa isang variable, ihalili ito at i-compute ang equation upang mahanap ang value ng ikalawang variable/unknown.)

Halimbawa 2

Find 3 solutions for the equation 3x + y = 9.

        Mas madaling masasagot ang problema kung kukunin muna natin ang value ng y. Gamit ang transposition, ang ating equation na 3x + y = 9 ay magiging ==>

y = -3x + 9

        Ngayon, maaari na tayong maghalili ng value ng x upang makuha ang value ng y.

Kung ang value ng x ay zero (0), ang value ng y ay:

          y = -3(0) + 9

          y = -3 + 9 

          y = 6

Kung gayon, ang ordered pair na (0,6) ay isang solution ng equation.

Kapag pinili natin ang 2 bilang value ng x, ang value ng y ay magiging:

y = -3(2) + 9 

                y = -6 + 9 

                y = 3

Ang ikalawang solution ng ating equation ay ang ordered pair na (2,3).

Ngayon, ihalili naman natin ang –1 bilang x.

     y = -3(-1) + 9 

             y = 3 + 9 

             y = 12

Ang ating ikatlong solution ay (-1, 12).

        P’wede nating itala sa isang table/talahanayan ang mga ordered pairs upang madaling makita ang ilang solutions sa ating equation na 3x + y = 9. 

        Alam na natin ngayon na ang solution ng isang  linear equation na may 2 variables ay isang ordered pair ng mga numero. Ang mga ordered pairs na ito ay maaaring i-graph sa isang coordinate plane. Ang graph ng isang equation ay isang  drowing na kumakatawan sa mga solutions nito.  

Halimbawa 3

Graph the equation 4x = 8 – 2y.

        Bago nating mai-graph ang equation, hanapin muna natin ang mga solutions o ordered pairs nito.

Step 1 Gawing simple ang equation (ayon sa natutunan natin sa lesson 2).

4x = 8 – 2y 

2y = - 4x + 8  

2y/2 = -4x/2 + 8/2

y = -2x + 4

Step 2 Maghalili ng value ng x para makuha ang value ng y.

y = -2x + 4

Kung ang x = 0,  y = -2(0) + 4 =  0 + 4 = 4

        x = -1 y = -2(-1) + 4 =  2 + 4 = 6

        x = -2 y = -2(-2) + 4 = 4 + 4 = 8

        x = 2 y = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0

        x = 4 y = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4

Step 3 Ilagay sa table o talahanayan ang mga values.

Step 4 I-plot ang mga points na (0, 4), (-1, 6), (-2, 8), (2, 0), at (4, -4) sa                                 coordinate plane. 

        Mapapansin sa graph na ang lahat ng points o ordered pairs ay nakalapat sa isang straight line. Kung magpa-plot pa tayo ng iba pang solutions, ang mga ito ay lalapat din sa nasabing tuwid na linya. Ang linya ay ang graph ng ating equation na 4x = 8 – 2y. Ang lahat ng points sa linya ay solusyon sa equation na ito.

Matuto Tayo

        Sa pag-graph ng mga linear na equation, maaaring tumawid ang isang tuwid na linya sa x-axis sa ilang points at maaari ring tumawid sa y-axis sa iba pang mga points. Ang mga points na ito ay tinatawag na mga intercept ng isang graph.

Ang x-intercept ay ang x-coordinate (value ng x) ng point kung saan tumatawid ang isang graph sa x-axis. Ang y- intercept, sa kabilang banda, ay ang y-coordinate (value ng y) ng point kung saan ang isang graph ay tumatawid sa y-axis.

        Ang bawat point sa x-axis ay may y-coordinate na zero at ang bawat point sa 

y-axis ay may x-coordinate na zero. Kapag pinagsama ang mga obserbasyon na ito kasama ang ideya ng mga intercept, maaari nating ibuod ang mga sumusunod:

        1.  Ang x-intercept ng isang graph ay ang x-coordinate ng punto na may y-coordinate na zero (0).

2.  Ang y-intercept ng isang graph ay ang y-coordinate ng punto na may x-coordinate na zero (0).

        Sa madaling salita, upang mahanap ang x-intercept ng graph ng isang equation, dapat nating hayaan ang y = 0 sa equation. 

Upang mahanap ang y-intercept, dapat nating hayaan ang x = 0 sa equation. 

Kapag naghahanap ng mga intercept, hindi kinakailangang ihiwalay ang alinmang variable.

Halimbawa 4

Find the x-intercept and the y-intercept of the line for the equation 2x + y = 1.

Kapag ang x = 0, ang y ay:

2(0) + y = 1 

                    0 + y = 1 

                          y = 1

Samakatuwid, ang y-intercept ay 1.

Kapag ang y = 0, ang x ay:

2x + 0 = 1 

                      2x = 1 

                        x = ½

Samakatuwid ang x-intercept ay ½.

        Ang graph ng mga puntos na (0, 1) at (1/2, 0) ay makikita sa ibaba:      

Halimbawa 5

Graph the equation  x – y = 0.

Step 1 Hanapin ang x at y-intercept ng equation.

Kapag ang x = 0, ang y ay:

0 – y = 0 

                              y = 0

Samakatuwid, ang y-intercept ay 0.

Kapag ang y = 0, ang x ay:

x – 0 = 0 

                              x = 0

Samakatuwid, ang x-intercept ay 0 rin.

        Anong nangyari? Mukhang magkakaproblema tayo dito dahil ang x-intercept at y-intercept ay parehong zero (0) o nasa origin. Kapag nangyari ito, kailangan nating maghanap ng isa pang point sa graph sa pamamagitan ng pagpili ng arbitrary o pansamanalang  x-value at hanapin ang katumbas na y-value nito.

Ang una nating solution o point ay (0,0). Humanap pa tayo ng isa pang point.

Sa ating equation na x – y = 0, kung x = 2, ang y ay magiging: 

                    2 – y = 0 

                         -y = -2 

                          y = 2.

        Ang ating ikalawang puntos ay (2,2).

        Ang graph ng mga puntos na (0, 0) at (2, 2) ay makikita sa ibaba:      

Summary

• A solution of an equation with two variables is an ordered pair of numbers that can be plotted on a coordinate plane.

• A graph of an equation is a drawing that represents its solutions.

• The intercepts of a graph are the points where a straight line crosses the x- and y-axes.

• The x-intercept is the x-coordinate of the point at which a graph crosses the x-axis.

• The y-intercept is the y-coordinate of the point at which a graph crosses the y-axis.

• In the formula, y = mx + b, m is the slope of the line while b is the coefficient of y.

• To graph a linear equation of the form ax + by = c using the intercept method, we follow these steps:

        1. Find the x-intercept by letting y = 0 in the original equation.

        2. Find the y-intercept by letting x = 0 in the original equation.

        3. Write the ordered pair corresponding to each intercept.

        4. Plot the intercept points and connect them with a straight line.

• The equations for most lines may be given by the slope-intercept form 

                y = mx + b.

        Note that m is the slope of the line. The arbitrary constant, b, is the y-intercept.

        Without drawing a graph of the equation, determine the slope and y-intercept of the equation y = 2x + 5.

The coefficient of x is 2 and the constant term is 5. Thus m = 2 and b = 5.

Pagsasanay

1.    Determine whether (2, -1) is a solution of y - 4 = 5(x – 3).

2.   What are the coordinates of the point where the graph of the equation 

        2x + 3y = 3 crosses the y-axis?

3.   What are the coordinates of the point where the graph of the equation 

        y = -3x – 4 crosses the x-axis?

4.   Find the intercepts of the equation 3y = 5x, then draw its graph.

5.   Write in slope-intercept form if the slope is ¾ and the y-intercept is – ½.

For the answers, please CLICK this link: ANSWERS to Exercises: Lesson 3 - Linear Equations In Two Variables

Reference: ALS Module - Equations 1