NOTES
1. This tutorial in Taglish is based on Module: Equations 2 prepared and published by the Department of Education of the Philippines for the Alternative Learning System (ALS) program.
2. Sorry for any typographical and/or grammatical error that has been missed.
3. Please comment for any incorrect answers.
=================================================
Matapos nating mapag-aralan ang mga araling nakapaloob sa ALS Module Equations 1, dadako naman tayo sa ALS Module Equations 2 upang pag-aralan din ang mga leksyon dito. Ang mga ito ay magbibigay sa iyo ng karagdagang kaalaman sa pangunahing konsepto ng balance o equality na kinakatawan mathematically ng mga equation. Ito ay magtuturo sa iyo ng higit pa tungkol sa mga konsepto ng mga equation at kung paano ito makakatulong sa iyong lutasin ang mga problemang nangyayari sa iyong pang-araw-araw na buhay.
Sa pagpapatuloy ng ating pag-aaral hinggil sa equation, ang bahaging ito ay kinabibilangan ng tatlong aralin:
Lesson 4 — Systems of Linear Equations
Lesson 5 — Applications of Linear Equations
Lesson 6 — Quadratic Equations
Ano ang Matutunan Mo sa Modyul na Ito?
Pagkatapos mong pag-aralan ang modyul na ito, dapat ay kaya mo nang:
• 1-solve ang mga sistema ng mga linear na equation;
• gumamit ng mga linear na equation sa paglutas ng mga word problems; at
• mahanap ang mga values ng x sa ibinigay na mga quadratic equation
Lesson 4 — Systems of Linear Equations
MATUTO TAYO
Sa nakaraang module, natutunan nain kung paano i-graph ang isang linear equation na may dalawang variable sa pamamagitan ng paggamit ng x-intercept at ng y-intercept o sa pamamagitan ng paggawa ng table of values. Sa araling ito, muli nating tatalakayin ang mga linear equation na may dalawang variable. Ngunit sa pagkakataong ito, lulutasin natin ang dalawang linear equation na may 2 unknowns hindi lamang sa pamamagitan ng graph kundi pati na rin sa paggamit ng Algebra.
Ang systems ng equation na katulad ng set na ibinigay sa itaas ay tinatawag na simultaneous equations dahil ang dalawang equation ay kumakatawan sa dalawang kundisyon na ipinataw nang sabay sa mga variables. Ang mga values ng mga variables na nakakatugon sa parehong equations ay sinasabing mga solutions of system of equations. Sa graph, ang bawat solusyon ay tumutugma sa isang punto ng intersection ng mga graph ng dalawang equations.
Halimbawa 1
Solve the following graphically then check.
x + y = 6
-3x + y = 2
Maaari naming i-graph ang isang linear equation sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan ng mga ordered pairs o sa pamamagitan ng paggamit ng x- at ang y-intercepts. Gamitin natin ang mga intercepts.
Para sa x + y = 6
Kapag x =0, 0 + y = 6
y = 6
Samakatuwid ang (0,6) ay isang solution.
Kapag ang y = 0, x + 0 = 6
x = 6
Samakatuwid, ang (6, 0) ay isa ring solution.
Para sa -3x + y = 2
Kapag x =0, -3(0) + y = 2
0 + y = 2
y = 2
Samakatuwid, ang (0, 2) ay isang solution.
Kapag y = 0, -3x + 0 = 2
-3x = 0
-3x/-3 = 2/-3
x = -2/3
Samakatuwid, ang (-2/3, 0) ay isa ring solution.
Ito ang magiging graph ng dalawang equations kapag inilapat natin ang kanilang mga solutions sa coordinate plane.
Makikita sa graph na ang point (1, 5) ay isa ring posibleng solution. I-check natin sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa ating orihinal na equations.
Para sa x + y = 6 ==>1 + 5 ≟ 6 ==> 6 = 6
Para sa -3x + y = 2 ==> -3 + 6 ≟ 2 ==> 2 = 2
Samakatuwid, ang solution para sa ibinigay na system of linear equations ay
(1, 5).
Halimbawa 2
Solve this system by graphing:
-4x + 10y = 6
2x – 5y = 3
Para sa -4x + 10y = 6
Kapag x =0, -4(0) + 10y = 6
0 + 10y = 6
10y/10 = 6/10
y = 6/10 = 3/5
Samakatuwid, ang (0, 3/5) ay isang solution.
Kapag y = 0, -4x + 10(0) = 6
-4x + 0 = 6
-4x = 6
-4x/-4 = 6/-4
x = -3/2 o -1 ½
Samakatuwid, ang (-3/2, 0) ay isa ring solution.
Para sa 2x – 5y = 3
Kapag x = 0, 2(0) – 5y = 3
0 – 5y = 3
-5y/-5 = 3/-5
y = -3/5
Samakatuwid, ang (0, -3/5) ay isang solution.
Kapag y = 0, 2x – 5(0) = 3
2x – 0 = 3
2x/2 = 3/2
x = 3/2 o 1 ½.
Samakatuwid, ang ( 3/2, 0) ay isa ring solution.
I-plot ang mga solutions ng dalawang equations sa coordinate plane
Mapapansin na ang dalawang linya ay parallel. Wala silang magkaparehong point o hindi sila nag-intersect. Upang masuri kung sila nga ay parallel, i-solve kung pareho ang kanilang mga slopes
Para sa -4x + 10y = 6 (Gawin ito sa pormang y = mx + b)
10y = 4x + 6
10y/10 = 4x/10 + 6/10
y = 2/5x + 3/5
Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay 3/5.
Para sa 2x - 5y = 3
-5y = -2x + 3
-5y/-5 = -2x/-5 + (3/-5)
y = 2/5x - 3/5
Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay -3/5.
Dahil magkapareho ang slope ng dalawang equations, masasabing no solution ang system. Ang solution set ay {} o null set.
Halimbawa 3
Solve the following by graphing:
y = -2x + 1
2x + y = 1
Para sa y = -2x + 1
Kapag ang x = 0, y = 2(0) + 1
y = 0 + 1
y = 1
Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.
Kapag ang y = 0, 0 = -2x + 1
-2x = -1
-2x/-2 = -1/-2
x = 1/2
Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.
Para sa 2x + y = 1
Kapag ang x = 0, 2(0) + y = 1
0 + y = 1
y = 1
Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.
Kapag ang y = 0, 2x + 0 = 1
2x = 1
2x/2 = 1/2
x = 1/2
Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.
Mapupuna na ang dalawang equations ay may magkaparehong solution sets.
Kapag nai-plot natin ang solution sets ng dalawang equations, ito ang kalalabasan ng kanilang graph:
Mapapansin na ang mga graphs ng dalawang equations ay magkapareho o ang mga ito ay nag-coincide o nagkalapat. Ang mga solutions ng sistema ay ang mga ordered pairs na (0, 1) at (1/2, 0) sa alinmang equation.
Mapapatunayan nating magkapareho nga ang graph ng dalawang equation o ang mga ito ay nagkalapat kung ang kanilang mga slopes at y-intercept ay magkapareho. Tingnan natin.
Para sa y = -2x + 1, dahil ang equation ay nasa slope-intercept na, ang slope nito ay -2 at ang y-intercept ay 1.
Para sa 2x + y = 1, gawin muna natin ito sa slope-intercept form:
2x + y = 1 ==> 2x – 2x + y = -2x + 1 ==> y = -2x + 1. Ang slope ay -2 at ang y-intercept ay 1.
Dahil ang dalawang equations ay may magkaparehong slope at y-intercept, sila ay tinatawag na equivalent equations.
Ang kanilang solution set ay isang infinite o walang katapusang set na maaaring isulat ng ganito:
{( x,y) | 2x + y = 1}
at basahin bilang “the solution set is the set of all ordered pairs (x, y) such that 2x + y = 1”.
Summary
To solve a system of linear equations in two variables graphically, first, graph the equations on the same coordinate plane. Then consider the following:
1. If the graphs are parallel, the system has no solution.
2. If the graphs coincide, the system has an infinite set of solutions.
3. If the graphs intersect, the coordinates of the point of intersection form the solution of the system.
Pagsasanay
1. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.
(3,2) 2x + 3y = 12
x – 4y = -5
2. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.
(2, 5) y = -x + 7
2x = y – 1
3. Graphically, find the solution set of the system:
x - 2y = 1
x - y = 2
4. Graphically, find the solution set of the system:
y = 2x + 4
2x - y = 2
5. Find the solution set of the system:
x = y
x + y = 3 by graphing. Use fractions if necessary.
6. Solve this system of equations graphically and check your solution:
x = y + 1
2x + y = -7
ANSWERS:
Mga Sagot sa Pagsasanay
1. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.
(3,2) 2x + 3y = 12
x – 4y = -5
Upang masagot ito, ihalili lamang ang ordered pairs na (3,2) sa dalawang equations.
Para sa 2x + 3y = 12 ==> 2(3) + 3(2) ≟ 12 ==> 6 + 6 ≟ 12 ==>
12 = 12
Para sa x – 4y = -5 ==> 3 – 4(2) ≟ -5 ==> 3 – 8 ≟ -5 ==>
-5 = -5
Dahil tumpak ang ating nakuhang equality, samakatuwid ang ordered pair na (3, 2) ay solution set ng linear equations.
2. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.
(2, 5) y = -x + 7
2x = y – 1
Tulad sa no. 1, ihahalili lamang natin ang ordered pairs na (2, 5) sa dalawang equations.
Para sa y = -x + 7 ==> 5 ≟ - 2 + 7 ==> 5 = 5
Para sa 2x = y – 1 ==> 2(2) ≟ 5 – 1 ==> 4 = 4
Dahil tama ang equality na ating nakuha, samakatuwid ang ordered pair na
(2, 5) ay solution ng system of linear equations sa itaas.
3. Graphically, find the solution set of the system:
x - 2y = 1
x - y = 2
Hanapin muna natin ang solution sets o ordered pairs ng dalawang equations sa pamamagitan ng kanilang interecepts.
Para sa x – 2y = 1
Kapag x = 0, 0 – 2y = 1 ==> -2y = 1 ==>
-2y/-2 = 1/-2 ==> y = -1/2
Kapag y = 0, x – 2(0) = 1 ==> x – 0 = 1 ==>
x = 1
Para sa x – y = 2
Kapag x = 0, 0 - y = 2 ==> -y = 2 ==>
-y/-1 = 2/-1 ==> y = -2
Kapag y = 0, x – 0 = 2 ==> x = 2
Ayon sa nakuha nating mga datos, ang ordered pairs ng x – 2y = 1 ay (0, -1/2) at (1, 0) samantalang ang ordered pairs ng x – y = 2 ay (0, -2) at (2, 0).
Maaari na nating i-plot ang mga points para makuha natin ang solution set ng system of equations na ito.
Makikita natin sa graph sa itaas na ang dalawang linyang nilikha ng ating mga equations ay nag-intersect sa point na (3, 1). Nangangahulugan kaya ito na ang solution set ng ating system of linear equations na x – 2y = 1 at x – y = 2 ay
(3, 1)? Suriin natin.
Ihalili natin ang (3, 1) sa ating dalawang equations:
x – 2y = 1 ==> 3 – 2(1) ≟ 1 ==> 3 – 2 ≟ 1 ==> 1 = 1
x – y = 2 ++> 3 – 1 ≟ 2 ==> 2 = 2
Samakatuwid, ang (3, 1) ay solution set ng ating system of linear equations.
4. Graphically, find the solution set of the system:
y = 2x + 4
2x - y = 2
For y = 2x + 4:
When x = 0, y = 2(0) + 4 ==> y = 0 + 4 ==> y = 4
When y = 0, 0 = 2x + 4 ==> 2x = -4 ==> x = -2
Thus the solution sets of y = 2x + 4 are (0, 4) and (-2, 0).
For 2x – y = 2:
When x =0, 2(0) – y = 2 ==> 0 – y = 2 ==> y = -2
When y = 0 2x – 0 = 2 ==> 2x = 2 ==> x = 1
Thus the solution sets of 2x – y = 2 are (0, -2) and (1, 0).
Let us now plot our points to find the solution set of the system.
Makikita sa itaas na ang nalikha nating mga linya ay parallel lines. Nangangahulugan ito na no solution ang ating sistema dahil wala silang intersection point. Ibig din sabihin na ang ating dalawang equations ay may kaparehong slope. Ito ay 2.
5. Find the solution set of the system:
x = y
x + y = 3 by graphing. Use fractions if necessary.
Mag-a-assign tayo ng value ng x upang makuha natin ang value ng y.
Para sa x = y:
Kapag x = 1, -1 = y ==> y = 1
Kapag x = -3/2 -3/2 = y ==> y = -3/2
Para sa x + y = 3:
Kapag x = -1, -1 + y = 3 ==> y = 4
Kapag x = 5, 5 + y = 3 ==> y = -2
I-plot natin ang ating mga nakuhang ordered pairs, points o solution sets ng dalawang equations sa coordinate plane para makalikha tayo ng graph.
Ang dalawang equations ay nag-intersect sa point (3/2, 3/2). Nangangahulugan na ang puntos na ito ang solution set ng system of linear equations na x = y at x + y = 3. I-check natin ang solution na ito upang masuri kung tama nga.
Para sa x = y:
3/2 = 3/2
Para sa x + y = 3:
3/2 + 3/2 = 3 ==> 3 = 3
Samakatuwid, tama ang (3/2, 3/2) bilang solution ng sistema.
6. Solve this system of equations graphically and check your solution:
x = y + 1
2x + y = -7
Para sa x = y + 1:
Kapag x = 0, 0 = y + 1 ==> y = -1
Kapag y = 0, x = 0 + 1 ==> x = 1
Samakatuwid, ang (0, -1) at (1, 0) ay solution sets ng x = y + 1.
Para sa 2x + y = -7:
Kapag x = 0, 2(0) + y = -7 ==> 0 + y = -7 ==> y = -7
Kapag y = 0, 2x + 0 = -7 ==> 2x = -7 ==> x = -7/2
Samakatuwid, ang (0, -7) at (-7/2, 0) solution sets ng 2x + y = -7
I-plot natin ang mga solution sets ng ating mga equation:
Makikita sa larawan sa itaas na ang dalawang line graphs na ating nilikha ay nag-intersect sa point na (-2, -3). Nangangahulugan ito na ang ordered pair na ito ang solution set ng ating system of linear equations na x = y + 1 at 2x +y = -7.
I-check natin.
Para sa x = y + 1: -2 ≟ -3 + 1 ==> -2 = -2
Para sa 2x + y = -7: 2(-2) + (-3) ≟ -7 ==> -4 – 3 ≟ -7 ==> -7 = -7
Samakatuwid, ang (-2, -3) ay solution set ng ating sistema.
(Please share)
No comments:
Post a Comment