Sa ALS Module Equations 2, Lesson 4 Part 1 ay napag-aralan natin kunin ang solution set ng ating simultaneous equations sa pamamagitan ng pag-plot ng graph ng mga ito. Napag-alaman natin na ang solution ng system of linear equations gamit ang graph ay ang coordinates o ordered pairs nito kung saan nag-intersect o nag-cross ang dalawang graphs ng ating mga equations.
Part 2 – Solving System of Linear Equations by Substitution
Sa araling ito ay pagtutuunan naman natin ang pagkuha ng solution ng simultaneous equations sa pamamagitan ng Algebra. Minsan, hindi masyadong accurate ang pagkuha ng solution ng system of linear equations gamit ang graph lalo na at hindi integers ang solution set o hindi tama ang pagpa-plot ng mag-aaral sa ordered pairs ng dalawang equations. Dahil dito, may ilan pang pamamaraan kung paano makukuha ang solution ng simultaneous equations. Isa na rito ang substitution method.
MATUTO TAYO
Kung ang isang variable o unknown sa isang equation ng isang system ay nahiwalay na sa isang panig, maaari mong palitan ang value na nakuha mo para sa variable/unknown na iyon sa kabila o ikalawang equation. Ibig sabihin, kapag nakuha mo na ang value ng x bilang variable o unknown sa unang equation, maaari mo nang ihalili ang value na ito ng x sa ikalawang equation upang makuha naman ang value ng y.
Halimbawa 1
Solve the following using the substitution method:
x = 3y (Equation 1)
x + 3y = 18 (Equation 2)
Sa sistema sa itaas, makikita sa Equation 1 na tinukoy na ang value ng x in terms of y. Kung isa-substitute o ihahalili natin ang value na ito ng x sa Equation 2, magiging isa na lamang ang ating variable o unknown. Sa madaling salita, makukuha na natin ang value ng y.
Subukin natin.
Mula sa Equation 1 na x = 3y , magiging ganito na ang Equation 2 na x + 3y = 18:
3y + 3y = 18
6y = 18
6y/6 = 18/6
y = 3
I-substitute natin ang value ng y sa Equation 1 upang makuha natin ang numerical value ng x.
x = 3y
x = 3(3)
x = 9
Para matiyak na tama ang ating nakuhang solution na (9, 3), ihalili natin ang mga value na ito sa ating Equation 1 at Equation 2.
Para sa Equation 1:
x = 3y
9 ≟ 3(3)
9 = 9
Para sa Equation 2:
x + 3y = 18
9 + 3(3) ≟ 18
9 + 9 ≟ 18
18 = 18
Dahil tama ang nakuha nating equality sa Equation 1 at Equation 2, samakatuwid, ang ordered pair na (9, 3) ang solution ng ating sistema.
Halimbawa 2
Minsan ang alinman sa equation ay walang isang variable lamang sa isang panig ng equation. Maaari nating lutasin ang isa sa mga variables o unknowns sa isang equation at ipalit ang value na ito sa kabilang equation.
Solve the following system by substitution:
3x + y = 13 (Equation 1)
5x – 2y = 7 (Equation 2)
Pansinin ang Equation 1. Makikita na ang coefficient ng y ay 1, samakatuwid, madaling lutasin ang equation na ito para sa y in terms of x.
3x + y = 13
y = -3x + 13 (Transposition)
Pagkatapos, ihalili natin ang value ng y sa Equation 2 para makuha ang value ng x.
5x – 2y = 7
5x – 2(-3x + 13) = 7
5x + 6x – 26 = 7
11x – 26 = 7
11x = 33
11x/11 = 33/11
x = 3
I-substitute natin ang value ng x na 3 sa alinman sa Equation 1 o 2 upang makuha natin ang value ng y.
Subukin natin sa Equation 1.
3x + y = 13
3(3) + y = 13
9 + y = 13
y = 4
Upang matiyak na tumpak ang ating nakuhang sagot na (3, 4), ipalit natin ito sa mga variables ng ating dalawang equations.
Para sa Equation 1:
3x + y = 13
3(3) + 4 ≟ 13
9 + 4 ≟ 13
13 = 13
Para sa Equation 2:
5x - 2y = 7
5(3) – 2(4) ≟ 7
15 - 8 ≟ 7
7 = 7
Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution na (3, 4) ay tumpak.
Summary
To solve a system of linear equations in two variables using the substitution method, follow these steps: (Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit, sundin ang mga hakbang na ito:)
1. Use either of the equations to solve for one variable in terms of the second variable. (Always select the equation wherein the variable is easier to work with.)
(Gamitin ang alinman sa mga equation upang malutas ang isang variable in terms ng pangalawang variable. (Palaging piliin ang equation kung saan mas madaling gamitin ang variable.)
2. Substitute the expression obtained in Step 1 to the other equation. (Ipalit ang expression na nakuha sa Hakbang 1 sa isa pang equation.)
3. Solve the resulting equation to find the value of the variable. ( I-solve ang nakuhang equation upang mahanap ang value ng variable.)
4. Substitute the value of this variable to the simpler equation to find the value of the other variable. (Ipalit ang value ng variable na ito sa mas simpleng equation upang mahanap ang value ng iba pang variable.)
5. The resulting number pair is the solution set. (Ang nakuhang pares ng numero (ordered pairs) ay ang solution set.)
6. Check the answers you got by substituting them in the original equations. (Suriin ang mga sagot na nakuha mo sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na mga equation.)
Pagsasanay
Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by substitution and check your answers:
1. x – 5y = 7
2x – 4y = 8
2. 5x + 2y = 10
4x + 3y = 15
3. 2x – y = a
x – 2y = d
ANSWERS:
Mga Sagot sa Pagsasanay
Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by substitution and check your answers:
1. x – 5y = 7 (Equation 1)
2x – 4y = 8 (Equation 2)
From Equation 1: x – 5y = 7
x = 5y + 7 (Tranposition)
Substiture x = 5y + 7 into Equation 2.
2x – 4y = 8
2(5y + 7) – 4y = 8
10y + 14 – 4y = 8
6y = -6
6y/6 = -6/6
y = -1
Substitute y = -1 into Equation 1 to get the value of x.
x – 5y = 7
x – 5(-1) = 7
x + 5 = 7
x = 2
Check if (2, -1) is our solution set by substituting these values into our original equations.
For Equation 1:
x – 5y = 7
2 – 5(-1) ≟ 7
2 + 5 ≟ 7
7 = 7
For Equation 2:
2x – 4y = 8
2(2) – 4(-1) ≟ 8
4 + 4 ≟ 8
8 = 8
Thus, since our two equations hold true, (2, -1) is our solution set.
2. 5x + 2y = 10 (Equation 1)
4x + 3y = 15 (Equation 2)
Simplify one variable in terms of the other.
For Equation 1:
5x + 2y = 10
5x = -2y + 10
5x/5 = -2y/5 + 10/5
x = -2/5y + 2
Substitute the above value of x into Equation 2.
4x + 3y = 15
4(-2/5y +2) + 3y = 15
-8/5y + 8 + 3y = 15
-8/5y + 3y = 7
15(-8/5y + 3y = 7)
-24y + 45y = 105
21y = 105
21y/21 = 105/21
y = 5
Substitute the above value of y into Equation 1.
5x + 2y = 10
5x + 2(5) = 10
5x + 10 = 10
5x = 0
x = 0
Check if (0, 5) is the solution set of our system.
For Equation 1:
5x + 2y = 10
5(0) + 2(5) = 10
0 + 10 = 10
10 = 10
For Equation 2:
4x + 3y = 15
4(0) + 3(5) = 15
0 + 15 = 15
15 = 15
Dahil balanse ang ating dalawang equations, nangangahulugan nito na ang solution set na (0, 5) ay tama.
3. 2x – y = a (Equation 1)
x – 2y = d (Equation 2)
Solve one variable in terms of the other.
For Equation 2:
x – 2y = d
x = 2y + d (Transposition)
Substitute the value of x into Equation 1.
2x – y = a
2(2y + d) – y = a
4y + 2d – y = a
3y = a – 2d
3y/3 = (a – 2d)/3
y = (a-2d)/3
Substitute the value of y into Equation 2 to find x.
x – 2y = d
x – 2(a - 2d)/3) = d
3[x – 2[(a - 2d)/3 = d]
3x - 2(a - 2d) = 3d
3x – 2a + 4d = 3d
3x = 2a - d
1/3(3x = 2a – d)
x = (2a – d)/3
To check if [(2a – d)/3, (a - 2d)/3] is our solution set, substitute them into Equation 1 and Equation 2.
For Equation 1:
2x – y = a
2(2a – d)/3 - (a - 2d)/3 = a
3[2(2a – d)/3 - (a - 2d)/3 = a]
2(2a - d) – (a – 2d) = 3a
4a - 2d – a + 2d = 3a
3a = 3a
For Equation 2:
x – 2y = d
(2a – d)/3 - 2(a - 2d)/3 = d
3[2a – d)/3 - 2(a - 2d)/3 = d]
(2a - d) – 2(a – 2d) = 3d
2a - d – 2a + 4d = 3d
3d = 3d
Since our two equations produced equality, therefore, [(2a – d)/3, (a - 2d)/3] is their solution set.
*************************** Thank You *****************************
Please SUBSCRIBE to my YouTube channel ==> SOLID Ka-ALS
No comments:
Post a Comment