Solving 2 Simultaneous Equations by Elimination

Sa Algebra, madalas ay nahaharap tayo sa isang problema kung saan kailangan nating hanapin ang mga values ng x at y sa dalawa o higit pang equation.

Masasagot natin ang problemang ito sa pamamagitan ng elimination, kung saan tatanggalin natin ang x o y sa nabanggit ng mga equations upang ang matira na lamang ang isang unknown.

Kalimitang ginagamit ang pag-a-ADD o pagsu-SUBRACT ng isang equation sa isa pang equation upang mawala o ma-eliminate ang isang unknown, x man ito o y.

A. Elimination by Addition

Tulad nang nabanggit na, maaaring pagsamahin (addition) ang dalawang equations para matanggal ang isang unknown nito.

Mga Halimbawa.

Find the value of x and y  (Hanapin ang katumbas ng x at y)

a.   2x - 3y = 5
      3x + 3y = 10

Sa unang tingin, mapapansin natin na matatangal kaagad ang y term kapag pinagsama natin ang 2 equations. Gawin natin ito sa pamamagitan ng pag-a-ADD sa kaliwang bahagi ng ng 2 equation gayundin sa kanang bahagi nito.

(2x - 3y) + (3x + 3y) = 5 + 10

5x = 15

x = 15/5

x = 3

Dahil nakuha na natin ang value ng x, ipalit ito sa alinman sa original na equation. Piliin natin ang ikalawang equation

3x + 3y = 10

3(3) + 3y = 10

9 + 3y = 10

3y = 10 - 9

y =  1/3

Ang value ng ating x = 3 at y = 1/3

Para malaman kung tama ang ating mga sagot, ilagay natin ang mga value ito sa mga orihinal na mga equation.

2x - 3y  = 5

2(3) - 3 (1/3) = 5

 6 - 1 = 5

5 = 5

Para naman sa ikalawang equation:

3x + 3y = 10

3(3) + 3 (1/3) = 10

9 + 1 = 10

10 = 10

B. Elimination by Subtraction

May pagkakataon na hindi natin maaaring gamitin ang addition upang matanggal ang isang unknown ng 2 equations. Minsan, kailangan nating gumamit ng subtraction.

Halimbawa

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2

Kapag sinuri natin ang dalawang equations sa itaas, mapapansin natin na kapag sila ay pinagsama (addition) hindi matatanggal ang alinman sa x o y. Nguni't kapag sinubtract natin ang ikalawang equation sa una, matatanggal ang x. Gawin natin ito. Tulad nang dati, mag-subtract tayo sa kaliwa at sa kanan tulad nang nasa ibaba:

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2 

(5x + 3y) - (5x +4y) = 5 - (-2)

5x + 3y - 5x - 4y = 5 + 2

3y - 4y = 7

-y = 7

y = -7

I-substitute natin ang value ng y = -7 sa alinman sa mga orihinal na equation para makuha ang value ng x. Gawin natin ito sa unang equation

5x + 3y = 5

5x + 3(-7) = 5

5x - 21 = 5

5x = 26

x = 26/5 or 5 1/5

I-subsitute ang value ng x = 26/5 at y = -7 sa mga equations upang malamn kung tama ang ating mga sagot.

5x + 3y = 5

5(26/5) + 3(-7) = 5

26 - 21 = 5

5 = 5

5x + 4y =  - 2

5(26/5) + 4(-7) = -2

26 - 28 = -2

-2 = -2

=====================================================================

Dapat tandaan, sa pagsusulit hindi agad basta-basta mawawala ang isang term sa pamamagitan ng addition o subtraction. Kadalasan, kailangang munang gumamit na multiplication at/o division bago gamitin ang alinman sa addition o subtraction.

Dapat lamang tandaan na kung ano ang minultiply o dinivide sa isang equation IYON ay gagawin sa buong equation. Dapat ding alalahanin na kung ano mang numero ang pinang-multiply o pinang-divide sa isang equation, hindi nababago ang value ng buong equation.

Halimbawa

Find the value of x and y:

-3x - y = 3
-4x + 4y = 5

Kung susuriin ang 2 equations sa itaas, hindi matatanggal ang x o y kung gagamitin kaagad ang addition o subtraction. Magagawa nating ma-eliminate ang x o y kung gagamit muna tayo ng multiplication o division.

Multiplication

Unahin nating gumamit ng multiplication. Sa pagpapasiya, para matanggal ang isang term ng equation, nararapat na MAGKAPAREHO sila sa bawa't equation.  Magkaiba ang (-3x at (-4x); gayundin ang (-y) at (4y).

Madaling gawin kung pagpaparehuhin natin ang y. Magagwa natin ito kung magmumultiply tayo ng 4 sa unang equation. Gawin natin.

-3x - y = 3

4( -3x - y = 3)   Tandaan na sa BUONG equation ang pagmu-multiply (o pagde-divide).

-12x - 4y = 12

Ibaba natin ang pangawalang equation

-12x - 4y = 12
-4x + 4y = 5

Sa unang tingin ay maaari nating pagsamahin (addition) ang 2 equations para mawala ang y term.

(-12x - 4y) + (-4x + 4y) = 12 + 5

-12x - 4y - 4x + 4y = 17

-16x = 17

x = -17/16

I-substitute ang value ng x = -16/17 sa orihinal na ikalawang equation para makuha ang value ng y.

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4y = 5

68/16 + 4y = 5

4y = 5 - 68/16

4y = 80/16 - 68/16

4y = 12/16

4y =  3/4

y = 3/16

i-substitute natin ang value ng x = 3/16 at y = -17/16 sa bawa't original na equation upang malaman kung tama ang ating sagot.

-3x - y = 3

-3( -17/16) - (3/16) = 3

51/16 - 3/16 = 3

48/16 = 3

3 = 3

Para naman sa ikalawang orihinal na equation:

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4(3/16) = 5

68/16 + 12/16 = 5

80/16 = 5

5 = 5

Tandaan:

Sa pagsagot ng 2 simultaneous equations by elimination, suriing mabuti ang dalawang equations. Gamit ang common sense, magpasya kung gagamit ng addition, subtraction, multiplication at o division upang matanggal agad ang isang unknown.