Solving 2 Simultaneous Equations by Elimination

Sa Algebra, madalas ay nahaharap tayo sa isang problema kung saan kailangan nating hanapin ang mga values ng x at y sa dalawa o higit pang equation.

Masasagot natin ang problemang ito sa pamamagitan ng elimination, kung saan tatanggalin natin ang x o y sa nabanggit ng mga equations upang ang matira na lamang ang isang unknown.

Kalimitang ginagamit ang pag-a-ADD o pagsu-SUBRACT ng isang equation sa isa pang equation upang mawala o ma-eliminate ang isang unknown, x man ito o y.

A. Elimination by Addition

Tulad nang nabanggit na, maaaring pagsamahin (addition) ang dalawang equations para matanggal ang isang unknown nito.

Mga Halimbawa.

Find the value of x and y  (Hanapin ang katumbas ng x at y)

a.   2x - 3y = 5
      3x + 3y = 10

Sa unang tingin, mapapansin natin na matatangal kaagad ang y term kapag pinagsama natin ang 2 equations. Gawin natin ito sa pamamagitan ng pag-a-ADD sa kaliwang bahagi ng ng 2 equation gayundin sa kanang bahagi nito.

(2x - 3y) + (3x + 3y) = 5 + 10

5x = 15

x = 15/5

x = 3

Dahil nakuha na natin ang value ng x, ipalit ito sa alinman sa original na equation. Piliin natin ang ikalawang equation

3x + 3y = 10

3(3) + 3y = 10

9 + 3y = 10

3y = 10 - 9

y =  1/3

Ang value ng ating x = 3 at y = 1/3

Para malaman kung tama ang ating mga sagot, ilagay natin ang mga value ito sa mga orihinal na mga equation.

2x - 3y  = 5

2(3) - 3 (1/3) = 5

 6 - 1 = 5

5 = 5

Para naman sa ikalawang equation:

3x + 3y = 10

3(3) + 3 (1/3) = 10

9 + 1 = 10

10 = 10

B. Elimination by Subtraction

May pagkakataon na hindi natin maaaring gamitin ang addition upang matanggal ang isang unknown ng 2 equations. Minsan, kailangan nating gumamit ng subtraction.

Halimbawa

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2

Kapag sinuri natin ang dalawang equations sa itaas, mapapansin natin na kapag sila ay pinagsama (addition) hindi matatanggal ang alinman sa x o y. Nguni't kapag sinubtract natin ang ikalawang equation sa una, matatanggal ang x. Gawin natin ito. Tulad nang dati, mag-subtract tayo sa kaliwa at sa kanan tulad nang nasa ibaba:

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2 

(5x + 3y) - (5x +4y) = 5 - (-2)

5x + 3y - 5x - 4y = 5 + 2

3y - 4y = 7

-y = 7

y = -7

I-substitute natin ang value ng y = -7 sa alinman sa mga orihinal na equation para makuha ang value ng x. Gawin natin ito sa unang equation

5x + 3y = 5

5x + 3(-7) = 5

5x - 21 = 5

5x = 26

x = 26/5 or 5 1/5

I-subsitute ang value ng x = 26/5 at y = -7 sa mga equations upang malamn kung tama ang ating mga sagot.

5x + 3y = 5

5(26/5) + 3(-7) = 5

26 - 21 = 5

5 = 5

5x + 4y =  - 2

5(26/5) + 4(-7) = -2

26 - 28 = -2

-2 = -2

=====================================================================

Dapat tandaan, sa pagsusulit hindi agad basta-basta mawawala ang isang term sa pamamagitan ng addition o subtraction. Kadalasan, kailangang munang gumamit na multiplication at/o division bago gamitin ang alinman sa addition o subtraction.

Dapat lamang tandaan na kung ano ang minultiply o dinivide sa isang equation IYON ay gagawin sa buong equation. Dapat ding alalahanin na kung ano mang numero ang pinang-multiply o pinang-divide sa isang equation, hindi nababago ang value ng buong equation.

Halimbawa

Find the value of x and y:

-3x - y = 3
-4x + 4y = 5

Kung susuriin ang 2 equations sa itaas, hindi matatanggal ang x o y kung gagamitin kaagad ang addition o subtraction. Magagawa nating ma-eliminate ang x o y kung gagamit muna tayo ng multiplication o division.

Multiplication

Unahin nating gumamit ng multiplication. Sa pagpapasiya, para matanggal ang isang term ng equation, nararapat na MAGKAPAREHO sila sa bawa't equation.  Magkaiba ang (-3x at (-4x); gayundin ang (-y) at (4y).

Madaling gawin kung pagpaparehuhin natin ang y. Magagwa natin ito kung magmumultiply tayo ng 4 sa unang equation. Gawin natin.

-3x - y = 3

4( -3x - y = 3)   Tandaan na sa BUONG equation ang pagmu-multiply (o pagde-divide).

-12x - 4y = 12

Ibaba natin ang pangawalang equation

-12x - 4y = 12
-4x + 4y = 5

Sa unang tingin ay maaari nating pagsamahin (addition) ang 2 equations para mawala ang y term.

(-12x - 4y) + (-4x + 4y) = 12 + 5

-12x - 4y - 4x + 4y = 17

-16x = 17

x = -17/16

I-substitute ang value ng x = -16/17 sa orihinal na ikalawang equation para makuha ang value ng y.

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4y = 5

68/16 + 4y = 5

4y = 5 - 68/16

4y = 80/16 - 68/16

4y = 12/16

4y =  3/4

y = 3/16

i-substitute natin ang value ng x = 3/16 at y = -17/16 sa bawa't original na equation upang malaman kung tama ang ating sagot.

-3x - y = 3

-3( -17/16) - (3/16) = 3

51/16 - 3/16 = 3

48/16 = 3

3 = 3

Para naman sa ikalawang orihinal na equation:

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4(3/16) = 5

68/16 + 12/16 = 5

80/16 = 5

5 = 5

Tandaan:

Sa pagsagot ng 2 simultaneous equations by elimination, suriing mabuti ang dalawang equations. Gamit ang common sense, magpasya kung gagamit ng addition, subtraction, multiplication at o division upang matanggal agad ang isang unknown.

CONVERSION: Fahrenheit to Celsius and Vice Versa

Nararapat na malaman ang pagko-convert mula Fahrenheit sa Censius (o Centigrade) upang malaman ang temperatura sa isang lugar kung ang isang nais makaalam ay hindi bihasa rito. Natural lamang na kung ang isang manlalakbay ay mula sa bansang gumagamit ng Celsius at nakapunta sa Amerika kung saan madalas ginagamit ang Fahrenheit, ang kaalaman sa pagpapalit ay sadyang mahalaga.

(Image from http://www.almanac.com/content/temperature-conversion)

FAHRENHEIT temperature scale

Tulad nang nabanggit na, kalimitang ginagamit ang antas ng temperatura na Fahrenheit sa bansang Amerika. Ang iskalang (scale) ito ay ipinangalan sa isang pisisistang (physicist) Aleman na si Daniel Gabriel Fahrenheit.

Daniel Gabriel Fahrenheit

(Image from http://www.teinteresasaber.com/2011/05/daniel-gabriel-fahrenheit-autor-de-inventos.html)

Conversion of Fahrenheit to Celsius

Sa pagpapalit ng temperatura mula Fahrenheit sa Celsius, narito ang tuntunin:

Bawasan lamang ng 32 ang temperatura sa Fahrenheit at i-multiply ang sagot sa 0.5556 o 5/9.

Mga Halimbawa

1.  55°F  ===>  (55 - 32)  x 0.5556 = 13°C  (rounded to whole number)

2.  35°F  ===>  (35 - 32)  x 0.5556 = 2°C  (rounded to whole number)

3.  105°F  ===>  (105 - 32)  x 0.5556 = 41°C  (rounded to whole number)

4.  79°F  ===>  (79 - 32)  x 0.5556 = 26°C  (rounded to whole number)

5.  32°F  ===>  (32 - 32)  x 0.5556 = 0°C  (freezing point of water)

CELSIUS Temperature Scale

Ang iskala ng temperaturang Celsius ay naunang tinawag na Centigrade. Ito ang kalimitang ginagamit sa halos buong mundo at ipinangalan sa isang astronomong Swedish na si Anders Celsius.

Anders Celsius

(Image from https://www.uu.se/en/about-uu/history/celsius/)

Conversion of Celsius to Fahrenheit

 Sa pagpapalit ng temperatura mula Celsius sa Fahrenheit, narito ang tuntunin:

I-multiply sa 1.80 ( 9/5) ang temperatura sa Celsius at dagdagan ng 32 ang produkto nito.

Mga Halimbawa

1.    25°C ===>  (25 x 1.80) + 32 = 45 + 32 = 77°F

2.    15°C ===>  (15 x 1.80) + 32 = 27 + 32 = 59°F

3.    40°C ===>  (40 x 1.80) + 32 = 72 + 32 = 104°F

4.      8°C ===>  (8 x 1.80) + 32 = 14.40 + 32 = 46°F (rounded-off)

5.      0°C ===>  (0 x 1.80) + 32 = 0 + 32 = 32°F

Tandaan lamang na sa pagpapalit mula sa isang iskala ng temperatura sa isa pa, huwag kalimutan ang mga numerong 32, 1.80 ( 0 9/5) at 0.5556 (o 5/9).