PROPERTIES OF QUADRATIC FUNCTIONS

Definition: A quadratic function is a function whose rule may be written in the form f(x) = ax^2 + bx + c where a, b, and c are real numbers and a is not zero.

Kahulugan: Ang quadratic function ay isang polynomial na ang pinakamataas na degree o power ay 2. Ang porma ng isang quadratic function ay f(x) =  ax^2 + bx + c kung saan ang a, b, and c ay mga tunay na bilang at ang a ay hindi zero.  Ang f(x) ay maaari ring isulat na y.

Mga Halimbawa ng Quadratic Function:

1.  -4x^2 - 7x + 12
2.   2x^2 + 6x + 4

Graph: Depende sa katumbas (value) ng a, ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola na nakabukas pataas  (kurbada paitaas)kung ang katumbas ng a ay mas malaki sa zero at nakabukas paibaba (kurbada paibaba) kung ang katumbas ng a ay mas maliit sa zero (o negative).

Graph ng quadratic function kapag ang value ng a ay negatibo o mas mababa sa zero.

(Image from https://www.varsitytutors.com)

Graph ng quadratic function kapag ang value ng a ay positibo o mas mataas sa zero.

(Image from https://www.freemathhelp.com/parabolas.html)

Malalaman na agad ang hugis ng graph ng isang quadratic function sa pagsusuri ng value o katumbas ng a. Kapag ito ay positive, ang graph ay pakurbada paitaas at kung ito ay negative, ang graph ay pakurbada paibaba.

Intercepts:

1. Ang y-intercept ng graph ng quadratic function f(x) or y = ax^2 + bx + c ay (0, c). Ang y-intercept ay ang points kung saan nasagi ng graph ang vertical line o y-axis. Ang value nito, tulad nang nabanggit sa itaas ay 0 at ang value ng c (o constant).

(Image from http://www.uzinggo.com)

Makukuha ang y-intercept ng graph ng quadratic function kung papalitan ng zero (0) ang lahat ng x sa isang equation.

Mga Halimbawa

Hanapin ang y-intercept ng sumusunod na quadratic function.

a.  y = -4x^2 -7x + 12

Kahit hindi i-solve ay malalaman na agad natin na ang y-intercept ay (0, 12).

Heto ang solusyon kung dapat ipakita;

y = -4x^2 -7x + 12

Palitan ng 0 ang lahat ng x ===>

y = -4 (0)^2 - 7(0) + 12 ==>

y = 0 - 0 + 12

y = 12

Dahil ang value ng x ay 0, at ang value naman ng y ay 12, ang y-intercept ay (0,12)

b. f(x) = 2x^2 + 6x + 4

Kahit hindi i-solve, ang y-intercept ay (0, 4).

Heto ang solusyon kung dapat ipakita:

y = 2x^2 + 6x + 4

Paliitan ng 0 ang value ng mga x ==>

y =  2(0)^2 + 6(0) + 4

y = 0 + 0 + 4

y = 4

Dahil ang x = 0 at y = 4, ang y-intercept ay (0,4)

2. Ang x-intercept ng graph ng isang quadratic function ay (x,0). Maaaring isa o dalawa ang x-intercept ng graph ng isang quadratic function. Ang x-intercept ay ang point o points (value ng x at y) kung saan nasagi ng graph ang horizontal line o x-axis. Tingnan ang larawan sa itaas.

Dahil alam na natin na ang value ng y ay zero (0), paano makukuha ang value (values) o katumbas ng x?

Ang x-intercept ng graph ng quadratic function f(x) = ax^2 + bx + c ay makukuha sa pamamagitan ng pag-solve ng quadratic function sa isang variable ===> ax^2 + bx + c = 0.

Isang paraan ng pagresolbang ito ay sa pamamagitan ng factoring at paggamit ng Zero Factor (Rule) Property. Sundin lamang ang sumusunod na tuntunin:

a. Isulat ang quadratic equation sa standard na porma (ax^2 + bx + c = 0)

Halimbawa:

Hanapin ang x-intercept (intercepts) ng quadratic function

f(x) or y =  2x^2 +6x + 4

Isulat sa standard na porma ng quadratic equation.

2x^2 +6x + 4 = 0

b. I-factor ang quadratic function bilang produkto (product) ng 2 linear factors. Ibig sabihin, ipa-factor natin ang (2x^2 + 6x + 4)

Kung mapapansin, ang mga real numbers na 2, 6, at 4 ay may common factor na 2,kung kaya't maaring isulat ang naunang equation sa ganito:

2x^2 +6x + 4 = 0 ===> 2(x^2 + 3x + 2) = 0

Ngayon, i-factor naman natin ang x^2 + 3x + 2. Paano?

Ano ang mga factors (dalawang numero na kung saan kapag minultiply mo silang dalawa ay lalabas ang naunang numero) ng x^2?

x  at x  ==> dahil kapag minultiply mo silang dalawa  x  (x) x and lalabas ay x^2

Ano ang mga factors ng 3x?     3 at x  (pwedeng -3 at -x dahil ang product nila ay 3x din)
 Ang 2?   2 at 1 (pwede ring -2 at -1 dahil ang product nila ay 2 rin)

======

Ano ang mga factors ng  x^2 + 3x + 2?

Alam na natin na ang mga factors ng x^2 ay  x at x, kung kaya:

( x  +/- __)  (  x +/-  __)     plus o minus ang nasa gita dahil hindi natin alam kung ano ang sign.

Ang blanko sa itaas ay ang mga factors ng c, na sa ating halimbawa ay 2. Ang maaari nating pagpilian ay 2 at 1  o kaya ay -2 at -1.  Nguni't dapat nating alalahanin na ang dapat nating makuhang resulta kapag ito dinagdag (add) sa isa't isa ay 3. Kung gayon, anong mga factors ng 2 na kapag idinadagdag sa isa't isa ang magiging suma ay 3?

Kitang-kita naman na 2 at 1 dahil 2 + 1 ay 3. Kapag pinagsama mo ang iba pang factors ng 2, hindi na makukuha ang sumang 3.

Isulat ang nakuha nating factors ng x^2 + 3x + 2

(x + 2) (x + 1)

Isulat ang buong factors ng  2x^2 +6x + 4 = 0

2[(x + 2) ( x + 1) ]  = 0

Upang tumama na zero ang equationg uto, dapat isa sa mga factors ay zero.

Ang unang factor na 2 ay hindi maaaring maging zero.

Equate natin sa zero ang ikalawang factor na x + 2 ==>

x + 2 = 0

x = -2

Kapag ang ikatlong factor na x + 1 naman ===>

x + 1 = 0

x = -1

Nangangahulugan na kapag ang x ay -2  o  -1, magiging tama ang ating equation.
Subukin nating ilagay ang x = - 2 para maging tama ang nauna nating equation.

2x^2 + 6x + 4 = 0

2(-2)^2  + 6 )(-2) + 4 = 0

2(4)  - 12 + 4 = 0

8 - 8 = 0    ====> tama ang x = - 2

Kung x = -1 naman.

2x^2 + 6x + 4 = 0

2(-1)^2 + 6(-1) + 4 = 0

2(1) - 6 + 4 = 0

2 - 2 = 0 ===> tama rin ang x = -1

Ang nakuha nating value na x ay -2 at -1. Dahil dito, may dalawa tayong x-intercepts. Ito ay ang mga points (puntos) na (-2, 0) at (-1, 0). Ito ay nangangahulugan na ang graph ng 2x^2 + 6x + 4 ay sumagi sa horizontal line (axis) o x-axis ng dalawang beses sa mga points na nabanggit.

SOLVING A QUADRATIC EQUATION using the QUADRATIC FORMULA

Isa ring pamamaraan ang pagresolba ng quadratic equation ay ang paggamit ng quadratic formula. Dahil dito dapat nating saulunin o tandaan ang pormulang ito dahil kalimitan ay hindi ito binibigay na "given" sa mga pagsusulit. Heto ang quadratic formula.

Ang solutions ng quadratic equation na  ax^2 + bx + c = 0 ay

(Image from http://www.national5maths.co.uk)

Magiging madali na ang paghanap ng value o values ng x kapag nasaulo natin ang quadratic formula.

Sa ating halimbawa sa itaas na  2x^2 + 6x + 4 = 0, gamitin natin ang quadratic dormula para hanapin ang mga katumbas ng x.

Dahil ang a = 2, b = 6, at c = 4 , heto ang kalalabasan:

x = - 6  +/- sqrt 6^2 - 4 (2)(4)

                       2(2)

x = - 6  +/- sqrt 36 - 32
                       4

x = - 6  +/- sqrt 4
               4

x = - 6  +/- 2 
            4

x = - 6  +  2          at     x = - 6  -  2     
            4                                4
         
x = - 4          at     x = - 8    
         4                          4

x = -1  at x = -2

Tama ang ating sagot. Kapareho ang value/s ng x kapag ginamit ang factoring method at quadratic formula.  Kung tutuusin, mas madaling gamitin ang quadratic formula kung ating matatandaan na TAMA ang formula, maalam sa paggamit ng square root at babantayang mabuti ang mga SIGNS  (positive +  o negative -)

SOLVING QUADRATIC EQUATIONS by COMPLETING THE SQUARE

Isa pang paraan ng pagsagot sa mga quadratic equations ay ang Completing the Square. Basahin DITO ang pamamaraan.

Discriminant:   Ang discriminant ng quadratic equation  f(x) = ax^2 + bc + c  ay

b^2 - 4ac

Pansinin na ang discriminant ang nakapaloob sa ating square root sa ating quadratic formula.

Sa ating halimbawa na 2x^2 + 6x + 4 = 0, ang discriminant ay :

b^2 - 4ac ===>  6^2 - 4(2)(4)  = 36 - 32  = 4

Maraming malalamang impormasyon kapag nalaman natin kaagad ang discriminant.

a. Kapag ang discriminant ay POSITIVE, ang graph ng quadratic equation ay may DALAWANG (2)  x-intercepts (tulad ng ating halimbawa).

b. Kapag ang discriminant ay ZERO , ang graph ng quadratic equation ay may ISANG (1) x-intercept.

c. Kapag ang discriminant ay NEGATIVE,  ang graph ng quadratic equation ay WALANG (0) x-intercepts at sa mga ganitong kaso;

            i. Ang buong graph ay nasa ITAAS ng x-axis kapag ang value ng a ay MAS MALAKI sa ZERO.

            ii. Ang buong graph ay nasa IBABA ng x-axis kapag ang value ng a ay MAS MALIIT sa ZERO o negative.

Vertex of Quadratic Function

Ang vertex ng quadratic function ay ang points (x,y) kung saan tumataas o bumababa ang graph ng isang quadratic equation. Ito ang pinakamataas o pinakamababang bahagi ng parabola. (Tingnan ang larawan sa itaas).

Mahalagang malaman ang vertex ng isang quadratic formula para malaman natin ang anyo nito o maiguhit ito sa x at y-axis.

Ipagpalagay na ang value ng x ay h at ang value ng y ay k. Ang h at k ang kalimitang ginagamit na simbolo sa mga libro sa pagkuha ng coordinates (x and y point) ng vertex.

Isa sa paraan ng pagkuha ng vertex ng parabola ay ang paggamit ng mga pormulang ito:

a. Para sa value ng x  o h ===> h = -b/2a

b. Para sa valeu ng y o k ====> k = (4ac - b^2)
                                                                  4a

Subukin natin ang formula sa itaas sa ating halimbawa na  2x^2 + 6x + 4

Ang a = 2, b = 6, at c = 4

Para sa value ng x o h ==>  h = -6/2(2)  = -6/4 = -3/2 or -1 1/2

Para sa value ng y o k ==>  k = (4ac - b^2)
                                                          4a

 k = (4(2)(4) - 6^2)        =   32 - 36   =  -4     = -1/2
             4(2)                              8                 8

Kung gayon ang ating vertex (x,y or h,k) ay  nasa puntos - 1 1/2 at -1/2
           
Saulunin lamang ang formula at magiging madali ang paghahanap ng values ng vertex.

Reference:

1. http://www.purplemath.com

2. http://www.drdelmath.com/

Multiplication and Division in Scientitic Notation

Rules for Multiplication in Scientific Notation:
Mga tuntunin sa pagmumultiply ng scientific notation:

1) Multiply the coefficients
I-multiply muna ang mga coefficients

2) Add the exponents (base 10 remains)
I-add o i-total ang exponents  (matitira ang base na 10)

Mga Halimbawa:

1. Multiply   (2 x 10^3)  and ( 2.5 x 10^2)

Ano ang mga coefficients ng dalawang terms?

2 at  2.5

Ano ang base ng dalawang terms?

10

Ano ang mga exponents ng dalawang terms?

3 at 2

SOLUTION

1) I-multiply muna ang mga coefficients

 2 x 2.5 = 5

2) I-add o i-total ang exponents  (matitira ang base na 10)

 10^3 ; 10^ 2 ===>  10 ^ 3+2 ==> 10^5

Sagot:  

(2 x 10^2) (2.5 x 10^3) = 5 x 10^5

2. Multiply  ( 3.12 x 10^-6) and (4.1 x 10^3)

SOLUTION

3.12 x 4.1 = 12.79

10^-6 x 10^3 =  10^ (-6 + 3) = 10^ -3

Sagot : 12.79 x 10^-3

Kahit na ang nasa itaas ay ang tamang sagot, hindi pa rin ito tama dahil hindi pa ito ang tamang representasyon ng scientific notation.

Rule 3:  Kung ang coefficient ng sagot ay labis sa 10, kailangang ilipat ang decimal point pakaliwa ng isang beses at dagdagan ng 1 (isa) ang exponent ng sagot.

Kung gayon,  12.79 x 10^-3==> 1.279 x 10^-2

TANDAAN:

Para sa pinakahuling sagot, dapat ay ISANG whole number lamang bago ang decimal point at dagdagan(add)ang exponent kung ilang beses inilipat ang decimal point pakaliwa (positive) o pakanan (negative).

Halimbawa:

1) 123.54 x 10^ 4 ===>  1.2354 x 10^6   (2 beses inilipat pakaliwa ang decimal point)

2) 0.0035 x 10^ -6 ===> 3.5 x 10^-9  (3 beses inilipat pakanan ang decimal point)

Kung susuriin, ang 0.0035 x 10^-6 ==> .0000000035

at ang 3.5 x 10^-9 ay .0000000035  din.

DIVISION in Scientific Notation

Rules for Division in Scientific Notation:
Mga tuntunin sa pagdivide in scientific notation:

1) Divide the coefficients
I-divide muna ang mga coefficients

2) Subtract the exponent of the 2nd term from the exponent of the 1st term; base 10 remains
 Ibawas ang exponent ng pangalawang term sa exponent ng unang term

Mga Halimbawa:

1. Dividel  (24 x 10^8)  and ( 2 x 10^3)

Ano ang mga coefficients ng dalawang terms?

24 at 2

Ano ang base ng dalawang terms?

10

Ano ang mga exponents ng dalawang terms?

8 at 3 


SOLUTION
1) I-divide muna ang mga coefficients
 24 / 2= 12

2) Ibawas ang exponent ng pangalawang term sa exponent ng unang term

 10^8; 10^ 3 ===>  10 ^ 8-3==> 10^5

Sagot:  

(24 x 10^8) / (2 x 10^3) = 12 x 10^5

Kahit na ang nasa itaas ay ang tamang sagot, hindi pa rin ito tama dahil hindi pa ito ang tamang representasyon ng scientific notation.

Rule 3:  Kung ang coefficient ng sagot ay labis sa 10, kailangang ilipat ang decimal point pakaliwa ng isang beses at dagdagan ng 1 (isa) ang exponent ng sagot.

Kung gayon,  12 x 10^5 = 1.2 x 10^6

TANDAAN:

Para sa pinakahuling sagot, dapat ay ISANG whole number lamang BAGO ang decimal point at dagdagan(add)ang exponent kung ilang beses inilipat ang decimal point pakaliwa (positive) o pakanan (negative).

Halimbawa:

1) 123.54 x 10^ 4 ===>  1.2354 x 10^6   (2 beses inilipat pakaliwa ang decimal point)
2) 0.0035 x 10^ -6 ===> 3.5 x 10^-9  (3 beses inilipat pakanan ang decimal point)

Kung susuriin, ang 0.0035 x 10^-6 ==> .0000000035
at ang 3.5 x 10^-9 ay .0000000035  din.

Absolute Value

Sa mga pagsusulit sa Mathematics, lagi na nating nakikita ang pagresolba ng mga problema ng mga numerong nasa loob ng dalawang bar  o 2 linyang vertical   |x|. Ang 2 linyang ito ay tinatawag na absolute value sign.

Ano ba ang absolute value?
Ang absolute value ng isang numero ay ang distansya nito mula sa zero sa isang number line.
(Image from http://study.com/cimages/multimages/16/rational_number_line.png)

Dahil ito ay distansya LAMANG mula sa zero, hindi ito maaaring maging NEGATIVE. Ibig sabihin, kahit na negative ang numerong nakapaloob sa isang absolute value sign na | | , ang katumbas na sagot ay POSITIVE.

Halimbawa:
Simplify:
1)  |-3|   ===>  3   (ibig sabihin, 3 units from zero)
2)  | 5 - 9 | ===> |-4| ===>  4
3)  | 3  +  5(-3) | ===>  | 3 - 15 | ===>  |-12| ===> 12

INEQUALITY of Absolute Value.
Dahil ang numerong nasa Absolute Value sign ay distansya lamang mula sa zero,  huwag intindihin ang sign ng numero sa paghahambing kung ano ang maliit at malaki o tinatawag na inequality.

Halimbawa:
Ano ang mas malaki, | 5 |  o  | -7 |?
Sa unang tingin, sasabihin nating | 5 | kasi nga ay mas malaki ang Positive 5 kaysa Negative 7.
Pero dahil ang katumbas ng | 5 | ay  5 at ang | - 7 | ay 7, ang tamang sagot ay  | 5 |   o  | 5 | <  | - 7 |.

TANDAAN:

Ang sinasabi lang natin dito ay ang Absolute Value ng numerong nasa loob ng Absolute Value sign ay laging POSITIVE.
Maaring NEGATIVE number ang sagot kung may NEGATIVE sign bago ang Absolute Value.

Halimbawa:
Evaluate:  
1) -2 | - 5 |  ====> - 2 (5) ===> -10
2)  - | -5 + 7 | ===>  - | 2 | ====}  - (2) ===> - 2
3)  -2 | - 4 | ^2 ===>  -2  (4)^2 ===> -2 (16)) ==> -32

Work Problems in Mathematics

Tunay na malaking challenge o problema ang kinakaharap ng mga mag-aaral sa pagsagot ng mga word problems sa Math kapag ito ay isang Work Problem.

Ang Work Problem ay isang word problem kung saan dalawa o higit pang tao ang nasasangkot na gumagawa ng isang trabaho na may IBA'T IBANG bilis (rate or speed) sa paggawa.

Halimbawa, kayang tapusin ni Juan ang pagbubunot ng sahig sa loob lamang ng tatlumpung minuto. Dalawampung minuto naman kapag si Pedro ang gumawa. Kung sabay nilang bubunutin ang sahig, ilang minuto nila itong tatapusin?

PARAAN:

1) Isulat natin ang ating mga Given at Variables:
 
    Juan = 30 min.   ===> ang oras (time) bahagi ng trabahong kanyang gagawin = 1/30

    Pedro = 20 min. ===> ang oras (time) bahagi ng trabahong kanyang gagawin = 1/20

   Kabuuan trabaho = x  ===>    ang kabuuang  oras ng trabahong gagawin nina Juan at Pedro = 1/x

TANDAAN:  

Mapapansin natin na ang RECIPROCAL ng numero ang bahagi ng trabahong gagawin.

Ano ba ang reciprocal? Ito ay ang kabaliktaran ng isang bilang.

Halimbawa, ang reciprocal ng 2 ay 1/2. Kaya ang reciprocal ng 1/2 ay 2.
Ang reciprocal ng  2/3 ay 3/2.
Ang reciprocal ng x ay 1/x.
Kuha na?

 2) Isulat ang EQUATION

1/30 + 1/20 = 1/x

3) SAGUTIN

Hanapin ang LCD o Less Common Denominator==> ang pinakamaliit na numerong maaaring hatiin sa dalawang denominator na 30 at 20. Kung nahihirapan kayong hanapin ang LCD, maaaring i-multiply ninyo ang dalawang  denominators na 30 at 20 at ito ang kuhanin. Maaari ring hanapin ang LCM o Less Common Multiple ==> ang pinakamaliit na product ng 2 denominators kung i-mumultiply sila sa counting numbers ( 1, 2, 3, 4 ... and so on)

Kung gayon ===>  30 x 20 = 600

Pagkatapos, i-multiply ang nakuhang product sa itaas sa BUONG EQUATION.

600 x (1/30 + 1/20 = 1/x)

20 + 30 = 600/x

50 = 600/x

x = 600/50

x  = 12 min

Sa pagkuha ng LCD, maaaring isama na rin ang denominator ng ikatlong term o yong nasa kaliwa ( 1/x).

Kaya ang makukuhang product ay 600x
Kung magkagayun,

600x(1/30 + 1/20 = 1/x)

20x + 30x = 600

50x = 600

x = 600/50

x = 12 min.

SUMMARY

Sa kabuuan, ang formula sa pagsagot ng work problem kung saan iba't iba ang bilis ng paggawa ay:

1/t1 + 1/t2 = 1/tb

kung saan, t1 = time o oras ng unang tao
                 t2 = time o oras ng ikalawang tao
                 tb = kabuuang oras (time) ng dalawa

Ang pormulang nabanggit sa itaas ay maaaring gamitin sa dalawa o higit pang tao at sa mga pipes filling up a tank problem.

Halimbawa (from http://www.onlinemathlearning.com/math-work-problems.html)

Peter can mow the lawn in 40 minutes and John can mow the lawn in 60 minutes. How long will it take for them to mow the lawn together?

Solution:

Step 1: Assign variables:

Let x = time to mow lawn together

Step 2: Use the formula:

Step 3: Solve the equation

The LCM of 40 and 60 is 120

 Multiply both sides with 120

Answer: The time taken for both of them to mow the lawn together is 24 minutes.

Work Problem with one unknown time

Paano naman kung ang isa sa dalawa (o higit pang tao) ay hindi alam ang oras ng paggawa?

Halimbawa:

Jack can paint a house in 6 hours. If his brother, Dave helps, it takes them four and two-thirds hours. How long will it take Dave working alone?

1) Isulat ang Given at Variable

  Jack = 6 hours   : Time =  1/6 (Reciprocal)

 Dave  = x   : Time = 1/x  (Reciprocal)

 Total Time =   4 2/3   = 14/3  :  Time = 3/14  (Reciprocal)

 2) Isulat ang Equation or Formula

   1/6 + 1/x = 3/14

 3) Sagutin ang Equation

Kung ayaw hanapin ang LCD, i-multiply na lang ang lahat ng denominators ( 6, x at 14)

6 times x times 14 = 84x

I-multiply ang nakuhang produkto sa itaas (84x) sa Equation

Kaya,

84x ( 1/6 + 1/x = 3/14)

84x/6 + 84x/x = 84x (3/14)

14x + 84 = 18x  

18x = 14x + 84

4x = 84

x = 21 hours

Checking:

1/6 + 1/x = 3/14

since x = 21

1/6 + 1/21 = 3/14

6x21x14 = 1764

1764(1/6 + 1/21 = 3/14)

1764/6 + 1764/21 = 1764 (3/14)

294 + 84 = 5292/14

378 = 378

===============

Distance Word Problem

Isa sa mahirap na parte ng pag-aaral sa Math ay ang pag-solve sa mga word problem dahil ito ay nangangailangan ng pag-aalisa o masusing paggamit ng common sense at imahinasyon. Ang mahirap na bahagi ng pagsagot sa mga word problem ay ang pag-setup ng equation. Para sa araling ito, ang ating pagtutuunan ng pansin ay ang pagsagot sa Distance Problem.

Ang "distance word problems" ay tinatawag din "uniform rate problems" kung saan ang isang bagay ay naglalakbay ng iisang bilis lamang o paiba-iba ang bilis sa isang paglalakbay. Kalimitan, ang isang distance problem ay sumasagot sa tanong na 1) kung gaano kabilis ang takbo; 2) gaano kalayo; o 3) gaano katagal.

Distance Formula

Ang distance formula ay  d = rt,

kung saan ang d ay ang distansya; r ay ang uniform o average speed at ang t ay ang oras.

Babala sa paggamit ng distance formula.

Siguraduhin lamang na ang unit para sa oras (t) at distansya (d) ay PAREHO sa unit ng rate of speed (r).

Halimbawa kung ang rate (r) ay kilometer per hour, dapat ang distance ay kilometer at ang oras (time) ay hour.

Halimbawa ng Distance Problem:

My taxi is travelling at two different speeds from my house to the airport.On asphalt road, it travels at 105 mph. On concrete road, it travels at 115 mph. I left at 1:00 PM and arrived at the airport at 6:00 PM. The distance of my house from the airport is 555 miles. For how long did my taxi travel from each speed?

Solution:

Istratehiya sa pagsagot ng word problem:

1) Isaulo at ibigay ang general formula ng distance"

distance = rate of speed x time or d = rt

2) Dahil may dalawang speed ang taxi, ibigay ang bawat formula o equation nito.

a) Sa aspaltadong daan, ang speed o bilis  (r) ng taxi ay 105 mph (miles per hour).

Dahil d = rt, ang equation  nito ay

d = 105t

     

b) Sa sementadong daan, ang speed (r) ng taxi ay  115 mph.

Ang equation nito ay  555 - d = 115 ( 5-t).

Busisiin natin ang pangalawang equation.

Bakit ang distance (d) ay naging 555-d?

Ang total na distansya ng airport at bahay ay 555 miles (given). Dahil ang distance na itinakbo ng taxi sa aspaltadong daan ay d, ang matitirang distansyang tatakbuhin ng taxi sa sementadong daan ay 555 - d na lamang.

Saan kinuha ang 115(5-t)?

Ang 115 ay ang speed ng taxi sa sementadong daan. Bakit naging 5-t and oras ng taxi? Ang kabuuang oras ng paglalakbay ay 5 oras ( 6PM - 1PM = 5 hours). Dahil ang oras sa aspaltadong daan ay t na, natural lamang na ibawas ang t sa total na oras kaya naging 5 - t.

3) Pagsamahin o i-ADD ang dalawang equation.

Equation 1 :  d = 105t

Equation 2:    555 - d = 115(5-t)

d + 555 - d = 105t + 115(5-t)

555 = 105t + 575 - 115t

555 = 575 - 10t

-20 = -10t

t = 2 hours

Ang t = 2 hours ay ang sagot sa unang equation na ang ibig sabihin ay 2 oras ang tinakbo ng taxi sa aspaltadong daan.

Ilang oras naman ang tinakbo ng taxi sa sementadong daan?

5 - t   o   5 - 2 = 3 hours

Tatlong oras ang tinakbo ng taxi sa sementadong daan.

Hintayin ang ilang halimbawa para sa pagsagot ng distance problem.

Examples from  Purple Math

• A boat travels for three hours with a current of 3 mph and then returns the same distance against the current in four hours. What is the boat's speed in calm water? How far did the boat travel one way?
     

	d	r	t
downstream	d	b + 3	3
upstream	d	b – 3	4
total	2d	---	7



(It may turn out that I won't need the "total" row.)
I have used "b" to indicate the boat's speed. Why are the rates "b + 3" and "b – 3"? Because I actually have two speeds combined into one on each trip. The boat has a certain speed (the "speed in calm water" that I'm looking for; this is the speed that registers on the speedometer), and the water has a certain speed (this is the "current"). When the boat is going with the current, the water's speed is added to the boat's speed. This makes sense, if you think about it: even if you cut the engine, the boat would still be moving, because the water would be carrying it downstream. When the boat is going against the current, the water's speed is subtracted from the boat's speed. This makes sense, too: if the water is going fast enough, the boat will still be going downstream (a "negative" speed, because the boat would be going backwards at this point), because the water is more powerful than the boat. (Think of a boat in a cartoon heading toward a waterfall. The guy paddles like crazy, but he still goes over the edge.)



	d	r	t
downstream	d = 3(b + 3)	b + 3	3
upstream	d = 4(b – 3)	b – 3	4
total	2d	---	7

Using "d = rt", the first row (of the revised table above) gives me:


d = 3(b + 3)


The second row gives me:


d = 4(b – 3)
Since these distances are the same, I will set them equal:


3(b + 3) = 4(b – 3)


Solve for b. Then back-solve for d.

In this case, I didn't need the "total" row.

• With the wind, an airplane travels 1120 miles in seven hours. Against the wind, it takes eight hours. Find the rate of the plane in still air and the velocity of the wind.
     

	d	r	t
tailwind	1120	p + w	7
headwind	1120	p – w	8
total	2240	---	15

(I probably won't need the "total" row.) Just as with the last problem, I am really dealing with two rates together: the plane's speedometer reading, and the wind speed. When the plane turns around, the wind is no longer pushing the plane to go faster, but is instead pushing against the plane to slow it down.  Copyright © Elizabeth Stapel 2000-2011 All Rights Reserved
The first row gives me:
1120 = 7(p + w)


The second row gives me:
1120 = 8(p – w)


The temptation is to just set these equal, like I did with the last problem, but that just gives me:
7(p + w) = 8(p – w)


...which doesn't help much. I need to get rid of one of the variables.
I'll take that first equation:
1120 = 7(p + w)


...and divide through by 7:
160 = p + w
Then, subtracting w from either side, I get that p = 160 – w. I'll substitute "160 – w" for "p" in the second equation:
1120 = 8([160 – w] – w)
1120 = 8(160 – 2w)
...and solve for w. Then I'll back-solve to find p.

• A spike is hammered into a train rail. You are standing at the other end of the rail. You hear the sound of the hammer strike both through the air and through the rail itself. These sounds arrive at your point six seconds apart. You know that sound travels through air at 1100 feet per second and through steel at 16,500 feet per second. How far away is that spike? (Round to one decimal place.)
    

	d	r	t
air	d = 1100t	1100	t
steel	d = 16,500(t – 6)	16,500	t – 6
total	---	---	6

However long the sound took to travel through the air, it took six seconds less to propagate through the steel. (Since the speed through the steel is faster, then that travel-time must be shorter.) I multiply the rate by the time to get the values for the distance column. (Once again, I didn't need the "total" row.)
Since the distances are the same, I set the distance expressions equal to get:


1100t = 16,500(t – 6)
Solve for the time t, and then back-solve for the distance d by plugging t into either expression for the distance d.

Sana ay naunawaan.

Reciprocal of a Number

The reciprocal of a number is simply  1/number (1 divided by the number).
Ang reciprocal ng isang bilang ay  1/bilang o ang kabaliktaran nito.

Image from www.mathisfun.com

Halimbawa:
Ano ang reciprocal ng mga sumusunod?

1)  3 ===>  1/3

2) 34 ===>  1/34

3) 1/2 ===>  1/ 1/2 ===>  2

4)  4/3 ===>  1 / 4/3 ===>  3/4

5)  0.25 ===>   1/0.25  ==>  11/4 ==> 4

Paano malalaman kung tama ang reciprocal ng isang bilang?
Malalaman mong tama ang reciprocal ng isang bilang kung ang sagot o product kapag ang 2 bilang ay minultiply ay one (1)  o isa.

Ibig sabihin .... bilang  times (x) reciprocal ng bilang  =  1

Halimbawa:

1)  2  x   1/2 = 1

2) 3/4  x  4/3 = 1

3)  0.25  x  1/0.25 = 1

4)  x/y  x y/x = 1

5)  4/5  x 5/4 = 1

Positive and Negative Exponent

This tutorial is to evaluate positive and negative exponent. First, let us define exponent.
The exponent of a number, called the base, tells us how many times that number is to be multiplied. The exponent is also called the index or power. This is only true if the exponent is a positive exponent.

Ang exponent ang nagsasaad kung ilang beses nating imu-multiply ang numerong meron nito.  Ito ay tutuo lamang kung ang exponent ay positive. Ang exponent  ay tinatawag ding index o power, samantalang ang numerong meron nito ay tinatawag na base.

The exponent is located on the upper right side of the number.

Example:

Makikita natin sa halimbawa na ang exponent ay 3 at ang base naman ay 8. Ang base na 8 ay tatlong beses na minultiply.

8^3 = 8 x 8 x 8 = 512

NEGATIVE EXPONENT

Paano namang kung ang exponent ay negative? 

May tamang paraan kung paano iso-solve ang base na may negative exponent. Sa itaas ay sinabi nating ang positive exponent ay nagsasaad kung ilang beses imu-multiply ang base.

Kabaliktaran naman ito sa negative exponent. Sa halip na multiplication, division ang ating gagawin. Kung gayon, ang negative exponent ay nagsasaad kung ilang beses nating hahatiin o idi-divide ang base.

Suriin ang larawan sa ibaba:

Ang X ay ang base o numero at ang -b ay ang negative exponent. May dalawang paraan upang i-solve ang negative exponent.

Halimbawa:

8 ^ -3 ===> 8 to the negative 3.

Step 1.  Kalkulahin ang positive exponent ==>

 8 ^ - 3 ===> ay magiging  8 ^ 3 =  8 x 8 x 8 = 512

Step 2. Kunin ang reciprocal (o kabaliktaran) nito.

Ang reciprocal ng  512 ay 1/512.

Kung gayon, 8 ^-3 = 1/512   o  1/ (8x8x8)

===========

Iba pang halimbawa ng reciprocal (Ang numerator ay magiging denominator, ang denominator ay magiging numerator)

Tandaan na ang denominator ng isang whole number tulad ng 8, 23, 50 ay 1 (one).

1) 2/3 ==>  3/2

2) 1/2 ===> 2/1  o  2

3) 43 ===> 1/43

4) 9/5 ===>  5/9

Mga Halimbawa ng Positive at Negative Exponent

1)  3^ 2 = 3 x 3 = 9

2)  6 ^ 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7,776

3)  5 ^ -3 =   1/ 5^3 = 1/ ( 5 x 5 x 5 ) =  1/125  = 0.008

4)  1/3 ^ 2 =  1/3 x 1/3 =  1/9

5)  -1/2 ^ - 2 =   1 / (-1/2) ^ 2 = 1 / [ (-1/2) x (-1/2)]  = 1/ 1/4 = 4

Order of Operations

Sa unang tingin, tila madali lamang ang isang problema sa matematika kung ang gamit lamang ay ang mga operations na exponent, multiplication, division, addition at subtraction. Sa katutohanan, maraming mag-aaral ang nagkakamali sa pagsagot ng simpleng problemang ito dahil hindi nila alam ang tamang paraan upang sagutin ang isang isyung may maraming operations.

Dahil dito, nararapat na tandaan ang acronym na PEMDAS. Ito bale ang pagkakasunod-sunod ng operations:

1) P = Parenthesis = evaluate muna ang operation na nasa loob ng parenthesis. Kung maraming parenthesis o brackets, unahin ang pinakaloob na parenthesis.

Halimbawa:
[ 2 x 4 {3 + 2}-2] =  [2 x 4 {5}-2] = [8 {5}-2] = [40-2] = 38

2) E = Exponent = Matapos ang pag-evaluate ng operations sa loob ng parenthesis o brackets, exponent ang isunod.

Halimbawa:
 5 x 3 - ( 3 -1)^2 x 3 = 5 x 3 - (2)^2 x 3 =
5 x 3 - 4 x 3 = 15 - 12 = 3

3) M = Multiplication
    D = Division
Pareho ang ranggo ng Multiplication at Division. Subali't kapag magkasunod ang multiplication at division sa gisang problema, gawin ang operation mula kaliwa pakanan.

Halimbawa:
25 / 5 x 2 =  5 x 2 = 10  at hindi  25 / 10 = 2.5

4) A = Addition
    S = Subtraction
Pareho rin ang ranggo ng addition at subtraction. Hindi masalimuot ang pagsagot dito. Gawain lamang na mula kaliwa pakanan ang pagsagot.

Para matandaan ang PEMDAS, pwede ring tandaan ang pangungusap na ito:
Please Excuse My Dear Aunt Sally

Mga Halimbawa:

1)  [ 2 x 3 - (2 + 4)^2 x 4 / 2 ] =
     [ 2 x 3 - ( 6 )^2 x 4 / 2 ] =
    [ 2 x 3 - 36 x 4/2 ] =
    [ 6 - 36 x 2 ] =
    [ 6 - 72 ] =
      - 66

2)  ( 6/2 - 3^3) x [ 12 - 3 x 4 ] =
     ( 6/2 - 27) x [ 12 - 3 x 5 ] =
     ( 3 - 27 ) x [ 12 - 15 ] =
     ( - 24 ) x [ -3 ] =
      72