Some Mathematics Tips & Tricks

Nasa ibaba ang ilan sa mga tips na maaaring unawain at tandaan sa pagso-solve ng mga mathematics problems na kinapapalooban ng mga operations tulad ng addition, subtraction, multiplication at division. Ang mga ito ay nakalap sa iba't ibang webpurok sa internet kung kaya't hindi na malaman kung kanino ba sadya nanggaling ang mga tips at tricks na ito.

(Image from http://www.freeworldu.org/Flash-Cards/Adding-Large-Numbers--6087)

A. Adding large numbers (Pagsuma ng mga malalaking bilang)

Kung gagawin sa isipan lamang, mahirap mag-add ng dalawang malalaking bilang o yong may tatlo o higit pang bilang ng digits. Para madali itong magawa, sundin ang mga sumusunod na tip:

1. Gawin sa pinakamalapit na multiple of 10 ang mga numerong pagsasamahin at i-add ang mga ito.

2. Kunin ang ang mga numerong ini-add sa dalawang bilang na pagsasamahin upang maging multiple ng 10 ang mga ito.

3. I-add ang 2 numerong nakuha sa step 2.

4. Ibawas (Subtract) ang resultang nakuha sa step 3 sa nakuhang suma sa step 1.

Halimbawa:

655 + 927 = ?

Step 1:   650 ===> 660
               927 ===> 930

660 + 930 = 1590

Step 2:  660 - 655 = 5
             930 - 927 = 3

Step 3:   5 + 3 = 8

Step 4:  1590 - 8 = 1582

655 + 927 = 1582

Ilan pang halimbawa:

a.   328 + 757 = ?

      328 ===> 330
      757 ===> 760

330 + 760 = 1090

330 - 328 = 2
760 - 757 = 3

2 + 3 = 5

1090 - 5 = 1085

328 + 757 = 1085  

b.   247 + 321 + 647 = ?

       247 ===> 250
       321 ===> 330
       647 ===> 650

250 + 330 + 650 = 1230

       250 - 247 = 3
       330 - 321 = 9
       650 - 647 = 3

3  +  9 + 3 = 15

1230 - 15 = 1215

247 + 321 + 647 = 1215

c.  112 + 357 + 426 + 941 = ?

     112 ===> 120
     357 ===> 360
     426 ===> 430
     941 ===> 950

120 + 360 + 430 + 950  = 1860

120 - 112 = 8
360 - 357 = 3
430 - 426 = 4
950 - 941 = 9

8 + 3 + 4 + 9 = 24

1860 - 24 = 1836

112 + 357 + 426 + 941 = 1836

Tandaan: Maaaring gamitin ang tip na ito kahit ilan pa ang mga malalaking numero na kailangang sumahin (addition)

B. Subtracting from 1,000 (Pagbabawas mula sa 1,000)

Minsan, mahirap din naman ang pagbabawas ng bilang mula sa 1,000 lalo na at gagawin ito mentally. Narito ang tip upang ito ay madaling gawin:

(Image from https://www.youtube.com/watch?v=ZIjDA9usfp0)

1. Ibawas  sa 9 ang bawa't digit ng numerong ibabawas sa 1,000, maliban sa huling digit (ones digit).

2. Ibawas sa 10 ang huling digit.

3. Isulat ang mga numerong nakuha sa step 1 at 2. Iyon ang sagot sa tanong.

Mga Halimbawa:

a. 1000 - 287 = ?

Anu-ano ang mga digits ng 287?

2 , 8 at 7

Ayon sa Step 1:

9 - 2 = 7

9 - 8 = 1

Ayon sa Step 2:

10 - 7 = 3

Mga nakuhang sagot sa Step 1 at 2:

7, 1 at 3

1000 - 287 = 713

b. 1000 - 718 = ?

9 - 2 = 7

9 - 8 = 1

10 - 7 = 3

Sagot: 7  1 3

1000 - 287 = 713

c.  1000 - 437 = ?

9 - 4 = 5

9 - 3 = 6

10 - 7 = 3

Sagot: 5 6 3

1000 - 437 = 563 

Word Problem: Coins

Madali lamang ang pagso-solve ng mga "coin problems" sa Math kung mauunawaan nating mabuti ang problemang kinakaharap.

(Image from http://asianjournal.com/news/solon-wants-hoarding-of-philippine-coins-criminalized/)

Kalimitan, ang coin problem ay kinapapalooban kung ilan ang mga coins o barya, magkano ang kabuuang pera  at alamin kung ilan ang bilang ng iba't ibang barya.

Ang istratehiya sa paglutas ng mga coin problem ay maaari ring gamitin sa mga perang papel o anuman na may halaga (value/amount), tulad ng mga tiket.

Sa pagsagot ng mga coin problem, dapat lang na tama ang paggawa ng equation upang wasto rin ang sagot.

Tulad nang nabanggit na, ang coin problem ay kinapapalooban ng kung ilan ang mga barya.

Halimbawa:

Si Ana ay palaging iniipon ang kanyang natirang baon sa isang alkansiya. Ang mga baryang ito ay singko sentimos, diyes, at beinte-singko. Higit sa 10 ang bilang ng singko kaysa beinte-singko at  kulang sa 5 ang bilang ng diyes sa beinte-singko. Ang lahat ng barya ay 95 at may halagang P12.00 . Tig-iilan ang singko, diyes at beinte-singko sa alkansya?

Katawanin natin ang mga barya sa pagbibigay ng letra o titik:

S = para sa singko sentimos
D = para sa diyes
B = para sa beinte-singko

(Kahit anong letra sa abakada ay maaari nating gamitin para katawanin ang isang barya)

Dahil ang mga barya ay may 95 piraso, ganito dapat ang mabubuo nating equation:

S + D + B  = 95  (bilang ng barya)

Alalahanin natin ang katumbas ng bawa't barya at isulat ito.

S = 0.05 (singko)
D = 0.10 (diyes)
B = 0.25 (beinte-singko)


Dahil ang kabuuang halaga ay P12.00, ganito ang mabubuo nating equation:

0.05S + 0.10D + 0.25B = 12  (halaga ng mga barya)

Kung susuriin, kailangan nating alamin ang bilang ng mga barya. Madali lamang ito kung bibilangin natin sila isa-isa. Pero sa mga problema sa Math, hindi ito ginagawa. Kalimitan para malaman ang bawa't piraso ng barya, may ibinibigay na  giya (guide) o pahiwatig (hint).

Pagsamahin natin ang 2 equation na nabuo natin:

S + D + B = 95
0.05S + 0.10D + 0.25B = 12

Sinasabi sa ating suliranin na "higit sa 10 ang bilang ng singko sa beinte-singko at kulang sa 5 ang bilang ng diyes sa beinte-singko" .

Kung gayon,

S = B + 10
D = B - 5

Ihalili natin ito sa atin unang equation.

S + D + B = 95

(B + 10) +  (B - 5) + B = 95

3B + 5 = 95

3B = 95 - 5

3B = 90

B = 90/3

B = 30  ===> bilang ng beinte-singko sentimos

S = B + 10 = 30 + 10 = 40 ===> bilang ng singko sentimos

D = B - 5 = 30 - 5 = 25 ===> bilang ng diyes sentimos

=========================

Tig-magkakano naman ang mga barya?

0.05S + 0.10D +  0.25B = 12

0.05(40) + 0.10(25) + 0.25(30) = 12

2 + 2.50 + 7.50 = 12

12 = 12

Ang halaga ng singko ay P2; ang diyes ay P2.50 at ang beinte-singko ay P7.50

========================================================

Para sa perang-Amerikano, dapat tandaan ang katumbas nito:

penny / pennies =  1 cent = 0.01

nickel = 5 cents = 0.05

dime = 10 cents = 0.10

quarter = 25 cents = 0.25

half-dollar = 50 cents = 0.50

golden dollar = 1 dollar = 1.00

HOMEWORK HELP

If you have homework in Mathematics that you need help to solve, just write it/them in the Comment and we shall assist you in solving it/them and/or ask other viewers to solve it/them.

Solving 2 Simultaneous Equations by Elimination

Sa Algebra, madalas ay nahaharap tayo sa isang problema kung saan kailangan nating hanapin ang mga values ng x at y sa dalawa o higit pang equation.

Masasagot natin ang problemang ito sa pamamagitan ng elimination, kung saan tatanggalin natin ang x o y sa nabanggit ng mga equations upang ang matira na lamang ang isang unknown.

Kalimitang ginagamit ang pag-a-ADD o pagsu-SUBRACT ng isang equation sa isa pang equation upang mawala o ma-eliminate ang isang unknown, x man ito o y.

A. Elimination by Addition

Tulad nang nabanggit na, maaaring pagsamahin (addition) ang dalawang equations para matanggal ang isang unknown nito.

Mga Halimbawa.

Find the value of x and y  (Hanapin ang katumbas ng x at y)

a.   2x - 3y = 5
      3x + 3y = 10

Sa unang tingin, mapapansin natin na matatangal kaagad ang y term kapag pinagsama natin ang 2 equations. Gawin natin ito sa pamamagitan ng pag-a-ADD sa kaliwang bahagi ng ng 2 equation gayundin sa kanang bahagi nito.

(2x - 3y) + (3x + 3y) = 5 + 10

5x = 15

x = 15/5

x = 3

Dahil nakuha na natin ang value ng x, ipalit ito sa alinman sa original na equation. Piliin natin ang ikalawang equation

3x + 3y = 10

3(3) + 3y = 10

9 + 3y = 10

3y = 10 - 9

y =  1/3

Ang value ng ating x = 3 at y = 1/3

Para malaman kung tama ang ating mga sagot, ilagay natin ang mga value ito sa mga orihinal na mga equation.

2x - 3y  = 5

2(3) - 3 (1/3) = 5

 6 - 1 = 5

5 = 5

Para naman sa ikalawang equation:

3x + 3y = 10

3(3) + 3 (1/3) = 10

9 + 1 = 10

10 = 10

B. Elimination by Subtraction

May pagkakataon na hindi natin maaaring gamitin ang addition upang matanggal ang isang unknown ng 2 equations. Minsan, kailangan nating gumamit ng subtraction.

Halimbawa

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2

Kapag sinuri natin ang dalawang equations sa itaas, mapapansin natin na kapag sila ay pinagsama (addition) hindi matatanggal ang alinman sa x o y. Nguni't kapag sinubtract natin ang ikalawang equation sa una, matatanggal ang x. Gawin natin ito. Tulad nang dati, mag-subtract tayo sa kaliwa at sa kanan tulad nang nasa ibaba:

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2 

(5x + 3y) - (5x +4y) = 5 - (-2)

5x + 3y - 5x - 4y = 5 + 2

3y - 4y = 7

-y = 7

y = -7

I-substitute natin ang value ng y = -7 sa alinman sa mga orihinal na equation para makuha ang value ng x. Gawin natin ito sa unang equation

5x + 3y = 5

5x + 3(-7) = 5

5x - 21 = 5

5x = 26

x = 26/5 or 5 1/5

I-subsitute ang value ng x = 26/5 at y = -7 sa mga equations upang malamn kung tama ang ating mga sagot.

5x + 3y = 5

5(26/5) + 3(-7) = 5

26 - 21 = 5

5 = 5

5x + 4y =  - 2

5(26/5) + 4(-7) = -2

26 - 28 = -2

-2 = -2

=====================================================================

Dapat tandaan, sa pagsusulit hindi agad basta-basta mawawala ang isang term sa pamamagitan ng addition o subtraction. Kadalasan, kailangang munang gumamit na multiplication at/o division bago gamitin ang alinman sa addition o subtraction.

Dapat lamang tandaan na kung ano ang minultiply o dinivide sa isang equation IYON ay gagawin sa buong equation. Dapat ding alalahanin na kung ano mang numero ang pinang-multiply o pinang-divide sa isang equation, hindi nababago ang value ng buong equation.

Halimbawa

Find the value of x and y:

-3x - y = 3
-4x + 4y = 5

Kung susuriin ang 2 equations sa itaas, hindi matatanggal ang x o y kung gagamitin kaagad ang addition o subtraction. Magagawa nating ma-eliminate ang x o y kung gagamit muna tayo ng multiplication o division.

Multiplication

Unahin nating gumamit ng multiplication. Sa pagpapasiya, para matanggal ang isang term ng equation, nararapat na MAGKAPAREHO sila sa bawa't equation.  Magkaiba ang (-3x at (-4x); gayundin ang (-y) at (4y).

Madaling gawin kung pagpaparehuhin natin ang y. Magagwa natin ito kung magmumultiply tayo ng 4 sa unang equation. Gawin natin.

-3x - y = 3

4( -3x - y = 3)   Tandaan na sa BUONG equation ang pagmu-multiply (o pagde-divide).

-12x - 4y = 12

Ibaba natin ang pangawalang equation

-12x - 4y = 12
-4x + 4y = 5

Sa unang tingin ay maaari nating pagsamahin (addition) ang 2 equations para mawala ang y term.

(-12x - 4y) + (-4x + 4y) = 12 + 5

-12x - 4y - 4x + 4y = 17

-16x = 17

x = -17/16

I-substitute ang value ng x = -16/17 sa orihinal na ikalawang equation para makuha ang value ng y.

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4y = 5

68/16 + 4y = 5

4y = 5 - 68/16

4y = 80/16 - 68/16

4y = 12/16

4y =  3/4

y = 3/16

i-substitute natin ang value ng x = 3/16 at y = -17/16 sa bawa't original na equation upang malaman kung tama ang ating sagot.

-3x - y = 3

-3( -17/16) - (3/16) = 3

51/16 - 3/16 = 3

48/16 = 3

3 = 3

Para naman sa ikalawang orihinal na equation:

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4(3/16) = 5

68/16 + 12/16 = 5

80/16 = 5

5 = 5

Tandaan:

Sa pagsagot ng 2 simultaneous equations by elimination, suriing mabuti ang dalawang equations. Gamit ang common sense, magpasya kung gagamit ng addition, subtraction, multiplication at o division upang matanggal agad ang isang unknown.