TYPES OF NUMBERS

Types of Numbers

(Source: http://web.mst.edu/~kosbar/test/ff/elem/typesofnumbers.html)

There are many different types of numbers

(Image from https://www.slideshare.net/AdilAslam4/numbers-and-its-types-in-mathematics)

1. NATURAL or COUNTING NUMBERS = are the set of numbers that you learn as a child to use to count how many objects you see. These numbers are 1, 2, 3, 4, 5, 6, and soon. Sometimes they are also referred to as POSITIVE INTEGERS.

2. WHOLE NUMBERS = these numbers are ALL the Natural or Counting Numbers PLUS ZERO (o). In essence, they are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, and soon. They are also called NON-NEGATIVE INTEGERS.

3. INTEGERS = these are ALL whole numbers INCLUDING their NEGATIVE counterparts. These are 0, 1, 2, 3, 4, 5, and soon AND -1, -2, -3, -4, -5 and soon.

4. RATIONAL NUMBERS = any number that can be expressed as a RATIO of INTEGERS, or as a FRACTION. Rational numbers include ALL INTEGERS and their FRACTIONS such as 0, 2, 4, 2/3, - 3 . -8, -4/5, -45/37, etc.

All rational numbers have a DECIMAL equivalent. For example,

a) 1/5 = 0.200....

b) 5/7 = 2/3 = 0.66666 ...

c) 1/7 = 0.142857142857142857...

The decimal equivalent of rational numbers always end in a repeating digit, or a series of digits. Reference the above examples, we can see that the repeating digit of 1/5 is 0; the repeating digits of 2/3 is 6; and 1/7 ends with the sequence 14285 repeating forever.

5. IRRATIONAL NUMBERS =  are numbers that have a decimal equivalent; however they don't have a repeating digit or series of digits. This also means that one cannot find a ratio of integers that is exactly equal to the number. Common examples of irrational numbers are the square root of 2 and π (pi).

6. REAL NUMBERS = include ALL the RATIONALS and ALL the IRRATIONALS. All the different types of numbers from 1 to 5 are REAL NUMBERS.

7. IMAGINARY NUMBERS = any real number multiplied by the square root of -1. Often the square root of -1 is referred to as i or j. So an imaginary number can be written as 3.2i or -8.77j. It is OK to use irrational multiplying numbers, so πj is a perfectly reasonable imaginary number.

8. COMPLEX NUMBERS = any real number ADDED to any IMAGINARY number, such as 4 + 6i, 2/3 + 25j, etc. 

Mathematics Tips & Tricks: Division

How you know when a number can be evenly divided by the certain numbers? By evenly means that the quotient has no remainder or you get an exact whole number.

Here’s a quick way to know when a number can be evenly divided by these certain numbers:

A number can be evenly divided by:

• 10 if the number ends in 0

Examples:

1) 500 / 10 = 50

2) 2750 / 10 = 275

3) 5240 / 10 = 520

• 9 when the digits are added together and the total is evenly divisible by 9

Examples:

1) 522 ==> 5+2+2 = 9 ; Since 9 is divisible by 9  (or a multiple of 9), then 522 can be evenly divided by 9.

522 / 9  = 58

2) 84213 ==> 8+4+2+1+3 = 18: Since 18 is divisible by 9 ( or a multiple of 9), then 84213 can be evenly divided by 9.

84213 / 9 = 9357

3) 50045 ==> 5+0+0+4+5 =  14: Since 14 is not divisible by 9, then 50045 cannot be evenly divided by 9.

• 8 if the last three digits are evenly divisible by 8 or are 000

Examples:

1) 71024 ==> the last 3 digits 024 are evenly divisible by 8 so 71024 can be evenly divided by 8.

71024 / 8 = 8878

2) 5027000 ==> the last 3 digits are 000, then 5027000 can be evenly divided by 8.

5027000 / 8 = 628375

3) 2000 ==> the last digits are 000, the 2000 can be evenly divided by 8.

2000 / 8 = 250

• 6 if it is an even number and when the digits are added together the answer is evenly divisible by 3

Examples:

1)  2532 ==> Is it even number? Yes! ; 2+5+3+2 = 12 : Since 12 is a multiple of 3, then 2532 can be evenly divided by 6.

2532 / 6 = 422

2)  984 ==> Is it even number? Yes! : Is 9+8+4 = 21 a multiple of 3? Yes!  (3x7 = 21)

984 / 6 = 164

• 5 if it ends in a 0 or 5

This is easy. Any number with 0 or 5 at the end can be evenly divided by 5.

Examples:

1) 510 ==> 510 / 5 = 102

2) 5355 ==> 5355 / 5 = 1071

3) 20035 ==> 20035 / 5 = 4007

• 4 if it ends in 00 or a two digit number that is evenly divisible by 4

Examples:

1)  4800 ==> 4800 / 4 = 1200

2) 724 ==> the last digits 24 is a multiple (4x6=24) of 4 so 724 can be evenly divided by 4.

724 / 4 = 181

3) 6816 ==> 16 is a multiple of 4 (4x4=16) then 6816 can be evenly divided by 4.

6816 / 4 = 1704

• 3 when the digits are added together and the result is evenly divisible by the number 3

Examples:

1) 56451 ==> 5+6+4+5+1 = 21: Is 21 divisible by 3? Yes! Then 56451 can be evenly divided by 3.

56451 / 3 = 18817

2) 300342 ==> 3+0+0+3+4+2 = 12: Is 12 divisible by 3? Yes! Then 300342 can be evenly divisible by 3.

300342 / 3  = 100114

3) 522 ==> 5+2+2 = 9; Since 9 is divisible by 3, then 522 can be evenly divided by 3.

522 / 3 = 174

• 2 if it ends in 0, 2, 4, 6, or 8

Like 5, this is very easy to understand. Any number with 0, 2, 4, 6 & 8 at the end, can be evenly divided by 2.

Examples:

1) 2010 ==>  2010 / 2 = 1005

2) 278 ==> 278 / 2 = 139

3) 62456 ==> 62456 / 2 = 31228

Mathematics Tips & Tricks

Nasa isa pang tip at trick para mapadali ang pagsagot sa mga Math problems:

Multiplying 5 times any number (Pag-multiply ng 5 sa anumang bilang)

When multiplying the number 5 by an even number, there is a quick way to find the answer.

For example, 5 x 4 =

• Step 1: Take the number being multiplied by 5 and cut it in half, this makes the number 4 become the number 2.
• Step 2: Add a zero to the number to find the answer. In this case, the answer is 20.

5 x 4 = 20

A. Pagmu-multiply ng 5 sa anumang bilang na EVEN ( o biilang na 0, 2, 4, 6, at 8 ang nasa hulihan nito) 

Halimbawa:

5 x 4

Step 1: Hatiian ang bilang na imu-multiply sa 5 at hatiin ito sa dalawa (2).

Sa ating halimbawa, ang numerong ito ay 4.  Hatiin natin ito sa 2.... 4/2 = 2

Step 2: Pagkatapos makuha ang sagot sa Step 1, lagyan ito ng zero (0).

20 ...Ito bale ang sagot.

i=tsek... 5 x 4 = 20

Mga Halimbawa

a.  5 x 536 ===> 536/2 = 268 ... lagyan ng 0 .....2,680 ....5 x 536 = 2,680

b.  5 x 7128 ===> 7128/2 = 3564...lagyan ng 0 ...35,640 ... 5 x 7128 = 35,640

c. 5 x 854 ==> 854/2 = 427...lagyan ng 0 ....4,270.... 5 x 854 = 4,270

d. 5 x 63510 ==> 63510/2 = 31755...lagyan ng 0 .....317,550 ....5 x 63510 = 317,550

Tsekin ang mga sagot sa itaas gamit ang iyong calculator.

When multiplying an odd number times 5, the formula is a bit different.

For instance, consider 5 x 3.

• Step 1: Subtract one from the number being multiplied by 5, in this instance the number 3 becomes the number 2.
• Step 2: Now halve the number 2, which makes it the number 1. Make 5 the last digit. The number produced is 15, which is the answer.

5 x 3 = 15

B. Pagmu-mulitply ng 5 sa isang ODD na bilang ( o bilang na 1, 3, 5, 7 at 9 ang nasa hulihan nito)

Halimbawa

5 x 3

Step 1:  Kunin ang imu-multiply sa 5 at ibawas ang isa (1) mula rito.

3 - 1 = 2

Step 2: Hatiin ang sagot sa Step 1 at ilagay ang 5 sa huli

2/2 = 1 .... ilagay ang 5 sa huli  ===>  15 .... ito ang sagot

Tsekin... 5 x 3 = 15

Mga Halimbawa.

a.  5 x 113 ===> 113-1 = 112/2 = 56...lagyan ng 5 ==> 565 .... 5 x 113 = 565

b. 5 x 7251 ==> 7251 - 1 = 7250/2 = 3625...lagyan ng 5 ==> 36,255 ... 5 x 7251 = 36,255

c. 5 x 349 ==> 349-1 = 348/2 = 174 ...lagyan ng 5 ==> 1,745.... 5 x 349 = 1,745

d. 5 x 20143 ==> 20143-1 = 20142/2 = 10071...lagyan ng 5 ==> 100,715 .... 5 x 20143 = 100,715

Tsekin ang mga sagot sa ibaba, gamit ang inyong calculator.

Some Mathematics Tips & Tricks

Nasa ibaba ang ilan sa mga tips na maaaring unawain at tandaan sa pagso-solve ng mga mathematics problems na kinapapalooban ng mga operations tulad ng addition, subtraction, multiplication at division. Ang mga ito ay nakalap sa iba't ibang webpurok sa internet kung kaya't hindi na malaman kung kanino ba sadya nanggaling ang mga tips at tricks na ito.

(Image from http://www.freeworldu.org/Flash-Cards/Adding-Large-Numbers--6087)

A. Adding large numbers (Pagsuma ng mga malalaking bilang)

Kung gagawin sa isipan lamang, mahirap mag-add ng dalawang malalaking bilang o yong may tatlo o higit pang bilang ng digits. Para madali itong magawa, sundin ang mga sumusunod na tip:

1. Gawin sa pinakamalapit na multiple of 10 ang mga numerong pagsasamahin at i-add ang mga ito.

2. Kunin ang ang mga numerong ini-add sa dalawang bilang na pagsasamahin upang maging multiple ng 10 ang mga ito.

3. I-add ang 2 numerong nakuha sa step 2.

4. Ibawas (Subtract) ang resultang nakuha sa step 3 sa nakuhang suma sa step 1.

Halimbawa:

655 + 927 = ?

Step 1:   650 ===> 660
               927 ===> 930

660 + 930 = 1590

Step 2:  660 - 655 = 5
             930 - 927 = 3

Step 3:   5 + 3 = 8

Step 4:  1590 - 8 = 1582

655 + 927 = 1582

Ilan pang halimbawa:

a.   328 + 757 = ?

      328 ===> 330
      757 ===> 760

330 + 760 = 1090

330 - 328 = 2
760 - 757 = 3

2 + 3 = 5

1090 - 5 = 1085

328 + 757 = 1085  

b.   247 + 321 + 647 = ?

       247 ===> 250
       321 ===> 330
       647 ===> 650

250 + 330 + 650 = 1230

       250 - 247 = 3
       330 - 321 = 9
       650 - 647 = 3

3  +  9 + 3 = 15

1230 - 15 = 1215

247 + 321 + 647 = 1215

c.  112 + 357 + 426 + 941 = ?

     112 ===> 120
     357 ===> 360
     426 ===> 430
     941 ===> 950

120 + 360 + 430 + 950  = 1860

120 - 112 = 8
360 - 357 = 3
430 - 426 = 4
950 - 941 = 9

8 + 3 + 4 + 9 = 24

1860 - 24 = 1836

112 + 357 + 426 + 941 = 1836

Tandaan: Maaaring gamitin ang tip na ito kahit ilan pa ang mga malalaking numero na kailangang sumahin (addition)

B. Subtracting from 1,000 (Pagbabawas mula sa 1,000)

Minsan, mahirap din naman ang pagbabawas ng bilang mula sa 1,000 lalo na at gagawin ito mentally. Narito ang tip upang ito ay madaling gawin:

(Image from https://www.youtube.com/watch?v=ZIjDA9usfp0)

1. Ibawas  sa 9 ang bawa't digit ng numerong ibabawas sa 1,000, maliban sa huling digit (ones digit).

2. Ibawas sa 10 ang huling digit.

3. Isulat ang mga numerong nakuha sa step 1 at 2. Iyon ang sagot sa tanong.

Mga Halimbawa:

a. 1000 - 287 = ?

Anu-ano ang mga digits ng 287?

2 , 8 at 7

Ayon sa Step 1:

9 - 2 = 7

9 - 8 = 1

Ayon sa Step 2:

10 - 7 = 3

Mga nakuhang sagot sa Step 1 at 2:

7, 1 at 3

1000 - 287 = 713

b. 1000 - 718 = ?

9 - 2 = 7

9 - 8 = 1

10 - 7 = 3

Sagot: 7  1 3

1000 - 287 = 713

c.  1000 - 437 = ?

9 - 4 = 5

9 - 3 = 6

10 - 7 = 3

Sagot: 5 6 3

1000 - 437 = 563 

Word Problem: Coins

Madali lamang ang pagso-solve ng mga "coin problems" sa Math kung mauunawaan nating mabuti ang problemang kinakaharap.

(Image from http://asianjournal.com/news/solon-wants-hoarding-of-philippine-coins-criminalized/)

Kalimitan, ang coin problem ay kinapapalooban kung ilan ang mga coins o barya, magkano ang kabuuang pera  at alamin kung ilan ang bilang ng iba't ibang barya.

Ang istratehiya sa paglutas ng mga coin problem ay maaari ring gamitin sa mga perang papel o anuman na may halaga (value/amount), tulad ng mga tiket.

Sa pagsagot ng mga coin problem, dapat lang na tama ang paggawa ng equation upang wasto rin ang sagot.

Tulad nang nabanggit na, ang coin problem ay kinapapalooban ng kung ilan ang mga barya.

Halimbawa:

Si Ana ay palaging iniipon ang kanyang natirang baon sa isang alkansiya. Ang mga baryang ito ay singko sentimos, diyes, at beinte-singko. Higit sa 10 ang bilang ng singko kaysa beinte-singko at  kulang sa 5 ang bilang ng diyes sa beinte-singko. Ang lahat ng barya ay 95 at may halagang P12.00 . Tig-iilan ang singko, diyes at beinte-singko sa alkansya?

Katawanin natin ang mga barya sa pagbibigay ng letra o titik:

S = para sa singko sentimos
D = para sa diyes
B = para sa beinte-singko

(Kahit anong letra sa abakada ay maaari nating gamitin para katawanin ang isang barya)

Dahil ang mga barya ay may 95 piraso, ganito dapat ang mabubuo nating equation:

S + D + B  = 95  (bilang ng barya)

Alalahanin natin ang katumbas ng bawa't barya at isulat ito.

S = 0.05 (singko)
D = 0.10 (diyes)
B = 0.25 (beinte-singko)


Dahil ang kabuuang halaga ay P12.00, ganito ang mabubuo nating equation:

0.05S + 0.10D + 0.25B = 12  (halaga ng mga barya)

Kung susuriin, kailangan nating alamin ang bilang ng mga barya. Madali lamang ito kung bibilangin natin sila isa-isa. Pero sa mga problema sa Math, hindi ito ginagawa. Kalimitan para malaman ang bawa't piraso ng barya, may ibinibigay na  giya (guide) o pahiwatig (hint).

Pagsamahin natin ang 2 equation na nabuo natin:

S + D + B = 95
0.05S + 0.10D + 0.25B = 12

Sinasabi sa ating suliranin na "higit sa 10 ang bilang ng singko sa beinte-singko at kulang sa 5 ang bilang ng diyes sa beinte-singko" .

Kung gayon,

S = B + 10
D = B - 5

Ihalili natin ito sa atin unang equation.

S + D + B = 95

(B + 10) +  (B - 5) + B = 95

3B + 5 = 95

3B = 95 - 5

3B = 90

B = 90/3

B = 30  ===> bilang ng beinte-singko sentimos

S = B + 10 = 30 + 10 = 40 ===> bilang ng singko sentimos

D = B - 5 = 30 - 5 = 25 ===> bilang ng diyes sentimos

=========================

Tig-magkakano naman ang mga barya?

0.05S + 0.10D +  0.25B = 12

0.05(40) + 0.10(25) + 0.25(30) = 12

2 + 2.50 + 7.50 = 12

12 = 12

Ang halaga ng singko ay P2; ang diyes ay P2.50 at ang beinte-singko ay P7.50

========================================================

Para sa perang-Amerikano, dapat tandaan ang katumbas nito:

penny / pennies =  1 cent = 0.01

nickel = 5 cents = 0.05

dime = 10 cents = 0.10

quarter = 25 cents = 0.25

half-dollar = 50 cents = 0.50

golden dollar = 1 dollar = 1.00

HOMEWORK HELP

If you have homework in Mathematics that you need help to solve, just write it/them in the Comment and we shall assist you in solving it/them and/or ask other viewers to solve it/them.

Solving 2 Simultaneous Equations by Elimination

Sa Algebra, madalas ay nahaharap tayo sa isang problema kung saan kailangan nating hanapin ang mga values ng x at y sa dalawa o higit pang equation.

Masasagot natin ang problemang ito sa pamamagitan ng elimination, kung saan tatanggalin natin ang x o y sa nabanggit ng mga equations upang ang matira na lamang ang isang unknown.

Kalimitang ginagamit ang pag-a-ADD o pagsu-SUBRACT ng isang equation sa isa pang equation upang mawala o ma-eliminate ang isang unknown, x man ito o y.

A. Elimination by Addition

Tulad nang nabanggit na, maaaring pagsamahin (addition) ang dalawang equations para matanggal ang isang unknown nito.

Mga Halimbawa.

Find the value of x and y  (Hanapin ang katumbas ng x at y)

a.   2x - 3y = 5
      3x + 3y = 10

Sa unang tingin, mapapansin natin na matatangal kaagad ang y term kapag pinagsama natin ang 2 equations. Gawin natin ito sa pamamagitan ng pag-a-ADD sa kaliwang bahagi ng ng 2 equation gayundin sa kanang bahagi nito.

(2x - 3y) + (3x + 3y) = 5 + 10

5x = 15

x = 15/5

x = 3

Dahil nakuha na natin ang value ng x, ipalit ito sa alinman sa original na equation. Piliin natin ang ikalawang equation

3x + 3y = 10

3(3) + 3y = 10

9 + 3y = 10

3y = 10 - 9

y =  1/3

Ang value ng ating x = 3 at y = 1/3

Para malaman kung tama ang ating mga sagot, ilagay natin ang mga value ito sa mga orihinal na mga equation.

2x - 3y  = 5

2(3) - 3 (1/3) = 5

 6 - 1 = 5

5 = 5

Para naman sa ikalawang equation:

3x + 3y = 10

3(3) + 3 (1/3) = 10

9 + 1 = 10

10 = 10

B. Elimination by Subtraction

May pagkakataon na hindi natin maaaring gamitin ang addition upang matanggal ang isang unknown ng 2 equations. Minsan, kailangan nating gumamit ng subtraction.

Halimbawa

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2

Kapag sinuri natin ang dalawang equations sa itaas, mapapansin natin na kapag sila ay pinagsama (addition) hindi matatanggal ang alinman sa x o y. Nguni't kapag sinubtract natin ang ikalawang equation sa una, matatanggal ang x. Gawin natin ito. Tulad nang dati, mag-subtract tayo sa kaliwa at sa kanan tulad nang nasa ibaba:

5x + 3y = 5
5x + 4y = -2 

(5x + 3y) - (5x +4y) = 5 - (-2)

5x + 3y - 5x - 4y = 5 + 2

3y - 4y = 7

-y = 7

y = -7

I-substitute natin ang value ng y = -7 sa alinman sa mga orihinal na equation para makuha ang value ng x. Gawin natin ito sa unang equation

5x + 3y = 5

5x + 3(-7) = 5

5x - 21 = 5

5x = 26

x = 26/5 or 5 1/5

I-subsitute ang value ng x = 26/5 at y = -7 sa mga equations upang malamn kung tama ang ating mga sagot.

5x + 3y = 5

5(26/5) + 3(-7) = 5

26 - 21 = 5

5 = 5

5x + 4y =  - 2

5(26/5) + 4(-7) = -2

26 - 28 = -2

-2 = -2

=====================================================================

Dapat tandaan, sa pagsusulit hindi agad basta-basta mawawala ang isang term sa pamamagitan ng addition o subtraction. Kadalasan, kailangang munang gumamit na multiplication at/o division bago gamitin ang alinman sa addition o subtraction.

Dapat lamang tandaan na kung ano ang minultiply o dinivide sa isang equation IYON ay gagawin sa buong equation. Dapat ding alalahanin na kung ano mang numero ang pinang-multiply o pinang-divide sa isang equation, hindi nababago ang value ng buong equation.

Halimbawa

Find the value of x and y:

-3x - y = 3
-4x + 4y = 5

Kung susuriin ang 2 equations sa itaas, hindi matatanggal ang x o y kung gagamitin kaagad ang addition o subtraction. Magagawa nating ma-eliminate ang x o y kung gagamit muna tayo ng multiplication o division.

Multiplication

Unahin nating gumamit ng multiplication. Sa pagpapasiya, para matanggal ang isang term ng equation, nararapat na MAGKAPAREHO sila sa bawa't equation.  Magkaiba ang (-3x at (-4x); gayundin ang (-y) at (4y).

Madaling gawin kung pagpaparehuhin natin ang y. Magagwa natin ito kung magmumultiply tayo ng 4 sa unang equation. Gawin natin.

-3x - y = 3

4( -3x - y = 3)   Tandaan na sa BUONG equation ang pagmu-multiply (o pagde-divide).

-12x - 4y = 12

Ibaba natin ang pangawalang equation

-12x - 4y = 12
-4x + 4y = 5

Sa unang tingin ay maaari nating pagsamahin (addition) ang 2 equations para mawala ang y term.

(-12x - 4y) + (-4x + 4y) = 12 + 5

-12x - 4y - 4x + 4y = 17

-16x = 17

x = -17/16

I-substitute ang value ng x = -16/17 sa orihinal na ikalawang equation para makuha ang value ng y.

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4y = 5

68/16 + 4y = 5

4y = 5 - 68/16

4y = 80/16 - 68/16

4y = 12/16

4y =  3/4

y = 3/16

i-substitute natin ang value ng x = 3/16 at y = -17/16 sa bawa't original na equation upang malaman kung tama ang ating sagot.

-3x - y = 3

-3( -17/16) - (3/16) = 3

51/16 - 3/16 = 3

48/16 = 3

3 = 3

Para naman sa ikalawang orihinal na equation:

-4x + 4y = 5

-4(-17/16) + 4(3/16) = 5

68/16 + 12/16 = 5

80/16 = 5

5 = 5

Tandaan:

Sa pagsagot ng 2 simultaneous equations by elimination, suriing mabuti ang dalawang equations. Gamit ang common sense, magpasya kung gagamit ng addition, subtraction, multiplication at o division upang matanggal agad ang isang unknown.

CONVERSION: Fahrenheit to Celsius and Vice Versa

Nararapat na malaman ang pagko-convert mula Fahrenheit sa Censius (o Centigrade) upang malaman ang temperatura sa isang lugar kung ang isang nais makaalam ay hindi bihasa rito. Natural lamang na kung ang isang manlalakbay ay mula sa bansang gumagamit ng Celsius at nakapunta sa Amerika kung saan madalas ginagamit ang Fahrenheit, ang kaalaman sa pagpapalit ay sadyang mahalaga.

(Image from http://www.almanac.com/content/temperature-conversion)

FAHRENHEIT temperature scale

Tulad nang nabanggit na, kalimitang ginagamit ang antas ng temperatura na Fahrenheit sa bansang Amerika. Ang iskalang (scale) ito ay ipinangalan sa isang pisisistang (physicist) Aleman na si Daniel Gabriel Fahrenheit.

Daniel Gabriel Fahrenheit

(Image from http://www.teinteresasaber.com/2011/05/daniel-gabriel-fahrenheit-autor-de-inventos.html)

Conversion of Fahrenheit to Celsius

Sa pagpapalit ng temperatura mula Fahrenheit sa Celsius, narito ang tuntunin:

Bawasan lamang ng 32 ang temperatura sa Fahrenheit at i-multiply ang sagot sa 0.5556 o 5/9.

Mga Halimbawa

1.  55°F  ===>  (55 - 32)  x 0.5556 = 13°C  (rounded to whole number)

2.  35°F  ===>  (35 - 32)  x 0.5556 = 2°C  (rounded to whole number)

3.  105°F  ===>  (105 - 32)  x 0.5556 = 41°C  (rounded to whole number)

4.  79°F  ===>  (79 - 32)  x 0.5556 = 26°C  (rounded to whole number)

5.  32°F  ===>  (32 - 32)  x 0.5556 = 0°C  (freezing point of water)

CELSIUS Temperature Scale

Ang iskala ng temperaturang Celsius ay naunang tinawag na Centigrade. Ito ang kalimitang ginagamit sa halos buong mundo at ipinangalan sa isang astronomong Swedish na si Anders Celsius.

Anders Celsius

(Image from https://www.uu.se/en/about-uu/history/celsius/)

Conversion of Celsius to Fahrenheit

 Sa pagpapalit ng temperatura mula Celsius sa Fahrenheit, narito ang tuntunin:

I-multiply sa 1.80 ( 9/5) ang temperatura sa Celsius at dagdagan ng 32 ang produkto nito.

Mga Halimbawa

1.    25°C ===>  (25 x 1.80) + 32 = 45 + 32 = 77°F

2.    15°C ===>  (15 x 1.80) + 32 = 27 + 32 = 59°F

3.    40°C ===>  (40 x 1.80) + 32 = 72 + 32 = 104°F

4.      8°C ===>  (8 x 1.80) + 32 = 14.40 + 32 = 46°F (rounded-off)

5.      0°C ===>  (0 x 1.80) + 32 = 0 + 32 = 32°F

Tandaan lamang na sa pagpapalit mula sa isang iskala ng temperatura sa isa pa, huwag kalimutan ang mga numerong 32, 1.80 ( 0 9/5) at 0.5556 (o 5/9). 

Basic Trigonometry: Sine, Cosine & Tangent

Sa pag-aaral ng Trigonometry na kalimitan ay ibinigay sa Year 10 o (Fourth Year noon), nararapat lamang na unawaing mabuti ang kahulugan at katangian ng sine,cosine at tangent.

Dapat tandaan na na ang sine, cosine, at tangent ay nakabase sa right-angled triangle o tatsulok na may 90 degrees ang isa sa tatlong mga anggulo (angles) o salikop. Dapat ding alalahanin na ang kabuuan o suma ng mga salikop ng anumang tatsulok ay 180 degrees. 

Kaya, sa isang right triangle kung saan 90 degrees ang isang anggulo, ang suma ng natitirang 2 salikop ay 90 degrees din.

OPPOSITE, ADJACENT at HYPOTENUSE

Bago maunawaan kung ano ang sine, cosine at tangent, dapat unahing maintindihan ang gilid (side) na opposite (kasalungat o katapat), adjacent (katabi), at hypotenuse (pinakamahabang gilid ng right triangle).

Masdan at unawain ang larawan sa ibaba na mula sa Math is Fun website

Dapat tandaan na ang isang katapat, katabi at pinakamahabang gilid ng isang right triangle ay maaaring magkapalit-palit DEPENDE kung ANONG angle (anggulo o salikop) ang tinutukoy.

MGA KATANGIAN NG SINE, COSINE at TANGENT

1. Ang sine ay ang ratio o proporyon ng mga sides o gilid sa isang right triangle. Ang mga gilid na ito ay  opposite/ hypotenuse  o ang katapat na gilid ng anggulong binabangit HATIIN sa pinakamamahabang gilid.

2. Ang cosine ay ang ratio o proporsyon ng mga sides o gilid sa isang right triangle.

Ang mga gilid na ito ay  adjacent/ hypotenuse  o ang katabing gilid ng anggulong binabangit HATIIN sa pinakamamahabang gilid.

2. Ang tangent ay ang ratio o proporsyon ng mga sides o gilid sa isang right triangle.

Ang mga gilid na ito ay  opposite/ adjacent  o ang katapat gilid ng anggulong binabangit HATIIN sa katabing gilid.

PAGDADAGLAT

Ang sine, cosine at tangent ay kalimitang dinadaglat o pinapaikli sa pagsusulat tulad ng mga sumusunod:

sine ===>   sin

cosine ===> cos

tangent ===> tan

Pinapaikli rin sa pagsusulat ang opposite, adjacent at hypotenuse para maging mas madali ang pagtutuos. Ito ay ang mga sumusunod:

opposite ===> o

adjacent ===> a

hypotenuse ===> h

Ang angle naman ay may simbolong θ. Ginagamit din ang mga letra ng alpabetong Griyego sa pagsusulat ng angle.

Kaya sa pagsusulit, ganito ang pagkakasulat:

sin θ = o/h

cos θ = a/h

tan θ = o/a

Para matandaan ang mga ratio  o proporsyong nabanggit, nararapat na tandaan ang 

sohcahtoa , kung saan ang tatlong mga letra ay kumakatawan kung paano tutuusin ang sine, cosine, at tangent.

Para lubos pang maunawaan ang sine, cosine, at tangent, basahin at suriin ang nakapaskel sa Math is Fun na nasa ibaba:

(Drawing and text below are from Math is Fun)

Right Triangle

Sine, Cosine and Tangent are the main functions used in Trigonometry and are based on a Right-Angled Triangle.

Before getting stuck into the functions, it helps to give a name to each side of a right triangle: 

• "Opposite" is opposite to the angle θ
• "Adjacent" is adjacent (next to) to the angle θ
• "Hypotenuse" is the long one

Adjacent is always next to the angle
And Opposite is opposite the angle

Sine, Cosine and Tangent

Sine, Cosine and Tangent (often shortened to sin, cos and tan) are each a ratio of sides of a right angled triangle:

For a given angle θ each ratio stays the same
no matter how big or small the triangle is

To calculate them:

Divide the length of one side by another side

Example: What is the sine of 35°?

Using this triangle (lengths are only to one decimal place):

sin(35°)	= Opposite / Hypotenuse
	= 2.8 / 4.9
	= 0.57...
cos(35°)	= Adjacent / Hypotenuse
	= 4.0 / 4.9
	= 0.82...
tan(35°)	= Opposite / Adjacent
	= 2.8 / 4.0
	= 0.70...

PROPERTIES OF QUADRATIC FUNCTIONS

Definition: A quadratic function is a function whose rule may be written in the form f(x) = ax^2 + bx + c where a, b, and c are real numbers and a is not zero.

Kahulugan: Ang quadratic function ay isang polynomial na ang pinakamataas na degree o power ay 2. Ang porma ng isang quadratic function ay f(x) =  ax^2 + bx + c kung saan ang a, b, and c ay mga tunay na bilang at ang a ay hindi zero.  Ang f(x) ay maaari ring isulat na y.

Mga Halimbawa ng Quadratic Function:

1.  -4x^2 - 7x + 12
2.   2x^2 + 6x + 4

Graph: Depende sa katumbas (value) ng a, ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola na nakabukas pataas  (kurbada paitaas)kung ang katumbas ng a ay mas malaki sa zero at nakabukas paibaba (kurbada paibaba) kung ang katumbas ng a ay mas maliit sa zero (o negative).

Graph ng quadratic function kapag ang value ng a ay negatibo o mas mababa sa zero.

(Image from https://www.varsitytutors.com)

Graph ng quadratic function kapag ang value ng a ay positibo o mas mataas sa zero.

(Image from https://www.freemathhelp.com/parabolas.html)

Malalaman na agad ang hugis ng graph ng isang quadratic function sa pagsusuri ng value o katumbas ng a. Kapag ito ay positive, ang graph ay pakurbada paitaas at kung ito ay negative, ang graph ay pakurbada paibaba.

Intercepts:

1. Ang y-intercept ng graph ng quadratic function f(x) or y = ax^2 + bx + c ay (0, c). Ang y-intercept ay ang points kung saan nasagi ng graph ang vertical line o y-axis. Ang value nito, tulad nang nabanggit sa itaas ay 0 at ang value ng c (o constant).

(Image from http://www.uzinggo.com)

Makukuha ang y-intercept ng graph ng quadratic function kung papalitan ng zero (0) ang lahat ng x sa isang equation.

Mga Halimbawa

Hanapin ang y-intercept ng sumusunod na quadratic function.

a.  y = -4x^2 -7x + 12

Kahit hindi i-solve ay malalaman na agad natin na ang y-intercept ay (0, 12).

Heto ang solusyon kung dapat ipakita;

y = -4x^2 -7x + 12

Palitan ng 0 ang lahat ng x ===>

y = -4 (0)^2 - 7(0) + 12 ==>

y = 0 - 0 + 12

y = 12

Dahil ang value ng x ay 0, at ang value naman ng y ay 12, ang y-intercept ay (0,12)

b. f(x) = 2x^2 + 6x + 4

Kahit hindi i-solve, ang y-intercept ay (0, 4).

Heto ang solusyon kung dapat ipakita:

y = 2x^2 + 6x + 4

Paliitan ng 0 ang value ng mga x ==>

y =  2(0)^2 + 6(0) + 4

y = 0 + 0 + 4

y = 4

Dahil ang x = 0 at y = 4, ang y-intercept ay (0,4)

2. Ang x-intercept ng graph ng isang quadratic function ay (x,0). Maaaring isa o dalawa ang x-intercept ng graph ng isang quadratic function. Ang x-intercept ay ang point o points (value ng x at y) kung saan nasagi ng graph ang horizontal line o x-axis. Tingnan ang larawan sa itaas.

Dahil alam na natin na ang value ng y ay zero (0), paano makukuha ang value (values) o katumbas ng x?

Ang x-intercept ng graph ng quadratic function f(x) = ax^2 + bx + c ay makukuha sa pamamagitan ng pag-solve ng quadratic function sa isang variable ===> ax^2 + bx + c = 0.

Isang paraan ng pagresolbang ito ay sa pamamagitan ng factoring at paggamit ng Zero Factor (Rule) Property. Sundin lamang ang sumusunod na tuntunin:

a. Isulat ang quadratic equation sa standard na porma (ax^2 + bx + c = 0)

Halimbawa:

Hanapin ang x-intercept (intercepts) ng quadratic function

f(x) or y =  2x^2 +6x + 4

Isulat sa standard na porma ng quadratic equation.

2x^2 +6x + 4 = 0

b. I-factor ang quadratic function bilang produkto (product) ng 2 linear factors. Ibig sabihin, ipa-factor natin ang (2x^2 + 6x + 4)

Kung mapapansin, ang mga real numbers na 2, 6, at 4 ay may common factor na 2,kung kaya't maaring isulat ang naunang equation sa ganito:

2x^2 +6x + 4 = 0 ===> 2(x^2 + 3x + 2) = 0

Ngayon, i-factor naman natin ang x^2 + 3x + 2. Paano?

Ano ang mga factors (dalawang numero na kung saan kapag minultiply mo silang dalawa ay lalabas ang naunang numero) ng x^2?

x  at x  ==> dahil kapag minultiply mo silang dalawa  x  (x) x and lalabas ay x^2

Ano ang mga factors ng 3x?     3 at x  (pwedeng -3 at -x dahil ang product nila ay 3x din)
 Ang 2?   2 at 1 (pwede ring -2 at -1 dahil ang product nila ay 2 rin)

======

Ano ang mga factors ng  x^2 + 3x + 2?

Alam na natin na ang mga factors ng x^2 ay  x at x, kung kaya:

( x  +/- __)  (  x +/-  __)     plus o minus ang nasa gita dahil hindi natin alam kung ano ang sign.

Ang blanko sa itaas ay ang mga factors ng c, na sa ating halimbawa ay 2. Ang maaari nating pagpilian ay 2 at 1  o kaya ay -2 at -1.  Nguni't dapat nating alalahanin na ang dapat nating makuhang resulta kapag ito dinagdag (add) sa isa't isa ay 3. Kung gayon, anong mga factors ng 2 na kapag idinadagdag sa isa't isa ang magiging suma ay 3?

Kitang-kita naman na 2 at 1 dahil 2 + 1 ay 3. Kapag pinagsama mo ang iba pang factors ng 2, hindi na makukuha ang sumang 3.

Isulat ang nakuha nating factors ng x^2 + 3x + 2

(x + 2) (x + 1)

Isulat ang buong factors ng  2x^2 +6x + 4 = 0

2[(x + 2) ( x + 1) ]  = 0

Upang tumama na zero ang equationg uto, dapat isa sa mga factors ay zero.

Ang unang factor na 2 ay hindi maaaring maging zero.

Equate natin sa zero ang ikalawang factor na x + 2 ==>

x + 2 = 0

x = -2

Kapag ang ikatlong factor na x + 1 naman ===>

x + 1 = 0

x = -1

Nangangahulugan na kapag ang x ay -2  o  -1, magiging tama ang ating equation.
Subukin nating ilagay ang x = - 2 para maging tama ang nauna nating equation.

2x^2 + 6x + 4 = 0

2(-2)^2  + 6 )(-2) + 4 = 0

2(4)  - 12 + 4 = 0

8 - 8 = 0    ====> tama ang x = - 2

Kung x = -1 naman.

2x^2 + 6x + 4 = 0

2(-1)^2 + 6(-1) + 4 = 0

2(1) - 6 + 4 = 0

2 - 2 = 0 ===> tama rin ang x = -1

Ang nakuha nating value na x ay -2 at -1. Dahil dito, may dalawa tayong x-intercepts. Ito ay ang mga points (puntos) na (-2, 0) at (-1, 0). Ito ay nangangahulugan na ang graph ng 2x^2 + 6x + 4 ay sumagi sa horizontal line (axis) o x-axis ng dalawang beses sa mga points na nabanggit.

SOLVING A QUADRATIC EQUATION using the QUADRATIC FORMULA

Isa ring pamamaraan ang pagresolba ng quadratic equation ay ang paggamit ng quadratic formula. Dahil dito dapat nating saulunin o tandaan ang pormulang ito dahil kalimitan ay hindi ito binibigay na "given" sa mga pagsusulit. Heto ang quadratic formula.

Ang solutions ng quadratic equation na  ax^2 + bx + c = 0 ay

(Image from http://www.national5maths.co.uk)

Magiging madali na ang paghanap ng value o values ng x kapag nasaulo natin ang quadratic formula.

Sa ating halimbawa sa itaas na  2x^2 + 6x + 4 = 0, gamitin natin ang quadratic dormula para hanapin ang mga katumbas ng x.

Dahil ang a = 2, b = 6, at c = 4 , heto ang kalalabasan:

x = - 6  +/- sqrt 6^2 - 4 (2)(4)

                       2(2)

x = - 6  +/- sqrt 36 - 32
                       4

x = - 6  +/- sqrt 4
               4

x = - 6  +/- 2 
            4

x = - 6  +  2          at     x = - 6  -  2     
            4                                4
         
x = - 4          at     x = - 8    
         4                          4

x = -1  at x = -2

Tama ang ating sagot. Kapareho ang value/s ng x kapag ginamit ang factoring method at quadratic formula.  Kung tutuusin, mas madaling gamitin ang quadratic formula kung ating matatandaan na TAMA ang formula, maalam sa paggamit ng square root at babantayang mabuti ang mga SIGNS  (positive +  o negative -)

SOLVING QUADRATIC EQUATIONS by COMPLETING THE SQUARE

Isa pang paraan ng pagsagot sa mga quadratic equations ay ang Completing the Square. Basahin DITO ang pamamaraan.

Discriminant:   Ang discriminant ng quadratic equation  f(x) = ax^2 + bc + c  ay

b^2 - 4ac

Pansinin na ang discriminant ang nakapaloob sa ating square root sa ating quadratic formula.

Sa ating halimbawa na 2x^2 + 6x + 4 = 0, ang discriminant ay :

b^2 - 4ac ===>  6^2 - 4(2)(4)  = 36 - 32  = 4

Maraming malalamang impormasyon kapag nalaman natin kaagad ang discriminant.

a. Kapag ang discriminant ay POSITIVE, ang graph ng quadratic equation ay may DALAWANG (2)  x-intercepts (tulad ng ating halimbawa).

b. Kapag ang discriminant ay ZERO , ang graph ng quadratic equation ay may ISANG (1) x-intercept.

c. Kapag ang discriminant ay NEGATIVE,  ang graph ng quadratic equation ay WALANG (0) x-intercepts at sa mga ganitong kaso;

            i. Ang buong graph ay nasa ITAAS ng x-axis kapag ang value ng a ay MAS MALAKI sa ZERO.

            ii. Ang buong graph ay nasa IBABA ng x-axis kapag ang value ng a ay MAS MALIIT sa ZERO o negative.

Vertex of Quadratic Function

Ang vertex ng quadratic function ay ang points (x,y) kung saan tumataas o bumababa ang graph ng isang quadratic equation. Ito ang pinakamataas o pinakamababang bahagi ng parabola. (Tingnan ang larawan sa itaas).

Mahalagang malaman ang vertex ng isang quadratic formula para malaman natin ang anyo nito o maiguhit ito sa x at y-axis.

Ipagpalagay na ang value ng x ay h at ang value ng y ay k. Ang h at k ang kalimitang ginagamit na simbolo sa mga libro sa pagkuha ng coordinates (x and y point) ng vertex.

Isa sa paraan ng pagkuha ng vertex ng parabola ay ang paggamit ng mga pormulang ito:

a. Para sa value ng x  o h ===> h = -b/2a

b. Para sa valeu ng y o k ====> k = (4ac - b^2)
                                                                  4a

Subukin natin ang formula sa itaas sa ating halimbawa na  2x^2 + 6x + 4

Ang a = 2, b = 6, at c = 4

Para sa value ng x o h ==>  h = -6/2(2)  = -6/4 = -3/2 or -1 1/2

Para sa value ng y o k ==>  k = (4ac - b^2)
                                                          4a

 k = (4(2)(4) - 6^2)        =   32 - 36   =  -4     = -1/2
             4(2)                              8                 8

Kung gayon ang ating vertex (x,y or h,k) ay  nasa puntos - 1 1/2 at -1/2
           
Saulunin lamang ang formula at magiging madali ang paghahanap ng values ng vertex.

Reference:

1. http://www.purplemath.com

2. http://www.drdelmath.com/