How to solve the surface area and volume of a cylinder?

Kahit magkapareho ang kahulugan ay magkaiba pa rin ang area sa surface area. (Ang labo, pareho pero hindi). Ang ibig kong sabihin, kadalasan ang area ay natutungkol lang sa mga figures na flat o yong one-dimensional lang  (tulad ng square, rectangle, triangle, square, etc.)–  kadalasan ay length at width lang meron ito. Ang surface area ay natutungkol sa mga geometric figures na 3 dimensional ( o 3D) tulad ng sphere, cylinder, prism, blocks, cubes, etc.

Kapag one-dimensional, IISA lang ang mukha o face ng kukuhanin nating area.  Pero sa 3 dimensional, lahat ng faces ng figure ang kukunin natin kaya tinawag na surface area – ang kabuuang lawak ng kanyang surface o mukhang nasa bukana.

Bago natin isulat ang pagkuha ng surface area ng isang cylinder tulad ng nasa larawan, alamin muna natin ang prinsipyong nakapaloob dito. Ano bang mga area ang kinukuha natin? Bale 3 piraso. Ipaghalimbawa natin na lata ng LIGO ang isang cylinder, ang kukuhanin nating area o lawak ay

1) yong bilog na nakatakip sa LIGO

2) Yong puwitan ng LIGO (na ang sukat ay katulad din ng itaas)

3) Yong pabalat ng LIGO pero ibabawas natin yong overlap, basta yong saktong maglalapat lang ang magkabilang dulo.

Kung gayon ang kinukuha nating area ay 2 BILOG o circle at I PARIHABA  o RECTANGLE.

Ipaghalimbawa natin na ang diameter ng LIGO ay 3 inches at ang taas nito ay 5 inches, what is its surface area?

Alam na natin na ang area ng circle ay pi times radius x radius  OR πr²  . Dapat ay tanda na natin ang formula ng area ng circle… Tandaan lang ito PIE ARE SQUARE === pie = PI ; ARE = Radius ; SQUARE = SQUARED….  π r²

Dahil given na ang value ng PI na 3.14 ( for simple calculation), radius na lang ang kailangan. Paano kukuhanin e wala naman sa given. Makukuha ang radius sa pamamagitan ng diameter dahil ang diameter ay 2 beses ng sukat ng radius. In symbol, d = 2 r. Dahil ang diameter natin ay 3 inches, ibi gsabihin ang radius natin ay 1.5 ( 3/2 = 1.5).

Dahil kumpleto na ang mga value, mako-compute na natin ang area ng circle.

A = π r²

A = (3.14) x (1.5) x (1.5)

A = 7.065  square inches è AREA ng TAKIP

Dahil ang puwitan ng LIGO ay pareho rin ang sukat ng takip, ang area nito ay 7.065 square inches din.

Ang problema na lang natin ay yong PABALAT ng LIGO na hugis rectangle.

Madali naman kunin ang area ng rectangle dahil length times width lang iyon. Kung sa actual, madali talagang kunin dahil susukatin lang natin yong tinanggal nating pabalat.

Kaso sa tunay na test, hindi naman ginagawa iyon. Pinatanggal ko lang ang pabalat para malaman ninyo kung ano ang sinusukat natin.

Sabihin na hindi tinanggal ang pabalat, paano natin masusukat iyon?

Alalahanin na ang perimeter ng circle ay siya ring circumference nito. At ang haba (length) ng pabalat ay katumbas ng circumference ng circle o ng takip o ng puwitan.

Nasusundan ba?

Dahil ang lapad ng rectangle o pabalat ay alam na nating 5 inches, yong circumference na lang ang kailangan nating kunin.

Ano ba ang circumference ng circle?

Simple lang, Circumference = diameter times pi OR  d x pi  OR  pi x 2 x radius  dahil ang diameter ay 2 radius.

Dahil given na ang diameter at alam naman natin ang value ng pi, makukuha na natin ang circumference na siya ring haba ng rectangle o pabalat ng ligo.

Diameter = 3 x 3.14 = 9.42 inches è length ng rectangle.

Heto na ang mga sukat natin ng rectangle o  pabalat:

Width = 5 inches

Length = 9.42 inches

Area ng pabalat o rectangle = 5 x 9.42 = 47.10 square inches

Dahil nakuha na natin ang 3 area na kailangan natin, alam natin ang surface area ng ating cylinder na may diameter na 3 inches at may taas na 5 inches.

Surface Area of cylinder = (Area of top circle) + (Area of bottom circle) +( Circumference x height )(Pabalat )

Surface area = 7.065 + 7.065 + 47.10 = 61.23 square inches.

Ano ngayon ang formula ng surface area base sa ating nakuhang mga sukat.

Surface area = π r² +  π r²  +  2πrh

Surface area = 2(πr²) + 2πrh ..(where π is pie = 3.14 ; r= radius; h=height)

Para madaling matandaan:

Surface area of cylinder = 2 x ( area of circle) + (circumference x height)

Paano naman i-compute ang volume ng isang cylinder?

Simple lamang itong gawin, tandaan at unawain lamang ang pormula sa ibaba:

Volume of cylinder = π

r^

2

h    or 

V

=

π

r^

2

h

Kung saan, r = radius; h = height (taas ng cylinder)

Kung susuriin ang pormula, makikita natin na ang 

π

r^

2 ay ang area ng circle (o area ng takip ng LIGO sa ating halimbawa sa itaas).

Kung gayon, makukuha natin ang volume ng cylinder sa pamamagitan ng pagmu-

multiply ng area ng circle at ang taas ng cylinder:

Volume = area of circle times height ==> V = area x height

Sa ating nakuhang value sa itaas, ang volume ng ating cylinder ay:

V = 7.065 x 5 = 35.325 cubic inches or in.^3

Sana ay naunawaan.        

Arithmetic Progression (Sequence/Series)

Arithmetic Progression (Sequence/Series)

Paano malalaman kung Arithmetic Progression ang isang sequence o series?

A. Ang isang sequence o series ay Arithmetic kung NAGDADAGDAG (ADDITION) o NAGBABAWAS (SUBTRACTION) ka ng MAGKAPAREHONG bilang o numero sa sinusundang term ng isang series o sequence.

Halimbawa:

1) 4   9  14  19  24  29  34 ...

Ang nasa itaas ay Arithmetic Progression dahil NAGDADAGDAG tayo sa tuwina ng 5 sa sumusunod na term.

2)  52  39  26  13  0  -13 -26 ...

Ang nasa itaas ay Arithmetic Progression dahil NAGBABAWAS tayo sa tuwina ng 13 sa sumusunod na term.

 

B. Paano malalaman ang susunod na term sa isang Arithmetic Progression (Sequence o Series)?

Kunin lamang ang difference ng sinusundang term sa naunang term. Kapag sila ay MAGKAPAREHO, malalaman na natin ang susunod na term.

Example 1) 3  7  11  15  19  23  ___?

Finding the difference:

7 – 3 = 4

11 – 7 = 4

15 – 11 = 4

19 – 15 = 4

23 – 19 = 4

 

Mula sa itaas ay makikita nating nagdadagdag na 4 sa sinundang term upang makuha ang susunod na term. Kung gayon ang susunod sa 23 ay 24 + 4 = 27

 

Sa pangkalahatan, narito ang Formula upang makuha ang anumang term sa anumang Arithmetic Progression. 

 

Tn  =  a  + (n – 1)d

Where Tn = the term we need to find; a = the first term in the series; and d = the difference between the next term and the preceding term.

 

In this context, we need to find d first to find the Tn.

If we follow the formula in our example,

Tn = a + (n-1) d

We already knew that d = 4 as per our calculation, a = 3, n is the number of term from 3 to the missing. If we count, we can see that n = 7. We are looking the 7^th term in the series.

 

(Sa kontekstong ito, kailangan nating hanapin muna ang d upang makita ang Tn.

Kung susundin natin ang pormula sa ating halimbawa,

Tn = a + (n-1) d

Alam na natin na ang d = 4 ayon sa ating pagkalkula, a = 3, n ay ang bilang ng term mula 3 hanggang sa nawawalang term. Kung bibilangin natin, makikita natin na n = 7. Hinahanap namin ang ika-7 term sa serye.)

 

T7 = 3 + ( 7-1) 4

T7 = 3 + (6)4

T7 = 3 + 24

T7 = 27 ==> the same number if we do it manually.

 

Use this formula : Tn =  a + (n-1)d    to find the nth term of an Arithmetic Progression.

 

Example 2)  Find the 10^th term of the Arithmetic Progression  1, 3.5, 6, 8.5, ...

 

Step 1: Find the difference

3.5 – 1 = 2.5

6 – 3.5 = 2.5

8.5 – 6 = 2.5

d = 2.5

 

Step 2: Use the formula

Tn = a + (n-1)d

 

Since we are looking for the 10^th term, the formula becomes...

T10 = a + (n-1)d

Substitute the value of a, n, and d in the equation.

T10 = 1 + (10-1)2.5

T10 = 1 + (9)2.5

T10 = 1 + 22.50

T10 = 23.50

Therefore, the 10^th term is 23.50

Solving the Perimeter and Area of Common Geometric Shapes

Bago natin matutunan kung paanong mag-solve ng perimeter (buong gilid) at area o lawak/sukat ng isang hugis, dapat muna nating malaman kung anu-ano ang katangian ng mga hugis na ito.

A. SQUARE (Parisukat) - ito ay isang hugis kung saan ang mga sides o gilid ay makakapareho ang sukat. Matatawag din isang uri ng rhombus ang square.

B. RECTANGLE (Parihaba) - isang hugis kung saan ang magkatapat na gilid ay magkapareho ang sukat. Ito ay isang uri ng parallelogram kung saan ang apat na sulok ay may angle na 90 degrees.

C. CIRCLE  / ROUND (Bilog)  - isang hugis na walang sulok at gilid.

Parts of a circle / Mga Bahagi ng Bilog

(Image from https://www.aplustopper.com/parts-of-the-circle/)

D. TRIANGLE (Tatsulok) - isang hugis na may tatlong sulok. Ang mga gilid ay maaaring magkakapareho ang sukat o hindi.

E. PARALLELOGRAM (Parallelogram)  - isang patag na hugis na may kasalungat (opposite) na mga gilid na parallel at pantay ang haba. Ang mga halimbawa ng parallelogram ay parisukat (square), parihaba (rectangle) at rhombus (nasa ibaba ang anyo). Dapat tandaan na ang rhombus, tulad ng parisukat, ay mayroong magkakaparehong sukat ng mga gilid.

How to compute for the perimeter and area of a shape? 

PAANO KUNIN ANG PERIMETER at LAWAK NG ISANG HUGIS?

A. SQUARE 

        Para makuha ang perimeter ng isang parisukat, kunin lamang ang haba ng isang gilid nito at i-multiply sa 4.

Halimbawa:

If the side of a square is 5 inches, what is its perimeter?

Perimeter = 5 x 4 = 20 inches.

        Kung kukunin naman ang area, i-multiply lamang ang sukat ng isang gilid ng dalawang beses.

    Halimbawa:

A square table has a side of 4 feet. Compute its area.

Area = 4 x 4 = 16 square feet (sq. ft. of ft^2)

B. RECTANGLE 

        Makukuha ang perimeter ng isang parihaba sa pamamagitan ng pag-add ng lahat ng sukat ng mga gilid nito. Dahil magkapareho ang sukat ng 2 dalawang maikling gilid  (width) at magkapareho rin ang sukat ng mahabang gilid (length), maaarng sundin ang formuang ito:

Perimeter = 2a + 2b ==> kung saan ang a = maikling gilid; b = mahabang gilid.

Halimbawa:

Find the perimeter of a rectangle whose short side is 6 cm. and long side is 9 cm.

Perimeter = 2(6) + 2(9) = 12 + 18 = 30 cm.

Upang makuha naman ang area ng isang rectangle, i-multiply lamang ang maikling gilid sa mahabang gilid (width x length).

Halimbawa:

A rectangle lot measures 20 x 35 meters. Find its area.

Area = 20 x 35 = 700 square meters (sq. m.)

C. CIRCLE

Ang perimeter ng bilog ay ang circumference (sirkumperensya) nito. Upang makuha nito, gamitin ang formulang ito:

Circumference = 

2

π

r ,

k

ung saan ang

π (pi) ay may katumbas na 3.1416 o 3,14 at ang r ay ang radius ng bilog.

Halimbawa:

Compute for the circumference (perimeter) of a round table whose radius is 2 feet.

C = 

2

π

r ==>

2 (2) (3.14) = 12.56 feet

Para naman makuha ang area ng isang circle, gamitin ang formulang ito:

Area of circle : 

A

=

π

r^

2     I-multiply lamang ang pi sa square radius o radius x radius.

Halimbawa:

A round table has 30 cm. radius. Find its area.

A

=

π

r^

2 ==> 3.14 x 30 x 30  = 2,826 square cm.

D. TRIANGLE

Upang makuha ang perimeter ng tatsulok, i-add lamang ang sukat ng 3 gilid nito.

Halimbawa:

The sides of a triangle measures 3, 4, and 5 inches. Compute its perimeter.

Perimeter of a triangle = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 inches

Para naman makuha ang area ng trianle, gamitin ang formulang ito:

Area of triangle = 1/2 b h, kung saan ang b ay sukat ng base at h ay sukat ng height o taas nito.

Halimbawa:

If a triangle has a base of 10 cm and a height of 14 inches, then its area is _______.

Area = 1/2 b h ==> 1/2 (10) (14) = 70 sq. cm.

E. PARALLELOGRAM 

Sa pagkuha ng perimeter ng isang rhombus, i-add lamang ang lahat ng gilid nito. Nguni't dahil magkakapareho naman ang sukat ng mga gilid nito, i-multiply ang gilid sa 4.

Halimbawa:

A rhombus has a side of 6 cm. What is its perimeter?

Perimeter = 4s ==> 4 x 6 = 24 cm

Sa pagkuha ng area ng rhombus, kunin lamang ang taas (H) (tulad ng nasa larawan sa itaas) at i-multiply ito sa sukat ng side (b)o gilid.

Halimbawa:

Find the area of a rhombus whose side is 5 inches and height of 7 inches.

Area of rhombus = b H ==> 5 x 7 = 25 square inches

=================================

Ang ipinaliwanag sa itaas ay konsepto sa pagkuha ng perimeter at area ng mga karaniwang hugis. Sa aktuwal na pagsusulit, nililito muna ang mga mag-aaral pero kung alam mo ang hinihingi ng problema, madali mo itong masasagutan.

ADDITION and SUBTRACTION of MIXED NUMBER

The steps are the same whether you're adding or subtracting mixed numbers:

Bago natin malaman ang pagbabawas at pagdadagdag ng hatimbilang (praksyon), alamin muna natin kung ano ang sumusunod:

1. What is a fraction?

          Ito ay isang uri ng bilang kung saan mayroon itong dalawang bahagi, ang numerator at ang denominator.

Halimbawa:

a. 1/3

b. 2/5                              

2. Ano ang NUMERATOR ng hatimbilang (fraction)?

          Ito ang bilang o numero na nasa ITAAS ng isang fraction.

Sa ating halimbawa na 1/3, ang numerator ay 1. Sa example na 2/5, ang numerator ay 2.

3. Ano naman ang DENOMINATOR?

          Ito ang bilang o numero na nasa IBABA ng isang hatimbilang o praksyon.

          Sa ating example na 1/3, ang denominator ay 3. Ito ay 5 naman sa halimbawang 2/5.

4. Ano ang mixed number?

          Ito ay bilang o numero may dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay ang whole number o buong bilang at ang ikalawang bahagi ay ang fraction. Kaya tinawag na mixed number ay dahil magkahalo o magkasama ang whole number at hatimbilang.

Halimbawa:

          a. 4 1/3

          b. 3 2/5

Sa halimbawang 4 1/3, ang whole number ay 4 at ang fraction ay 1/3

3 naman ang buong bilang sa example na 3 2/5 at 2/5 naman ang hatimbilang.

5. Ano ang mga multiples ng isang bilang?

          Ito ay ang mga produkto (o products) na makukuha kapag ang isang numero ay minultiply sa mga counting number o bilang na 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….and soon.

Halimbawa:

          a. What are the multiples of 2?

          2 x 1 = 2

          2 x 2 = 4

          2 x 3 = 6

          2 x 4 = 8

          2 x 5 = 10

          .

          .

          2 x 100 = 200

Ang mga multiples ng 2 ay 2, 4, 6, 8, 10 ….. 200, atbp.

ADDITION of Mixed Numbers

May dalawang diskarte sa pagdadagdag ng mga mixed numbers. Dahil wala namang problema sa pag-a-ADD ng whole number, ang pagtutuunan nating ng pansin ang pagdadagdag ng 2 fractions.

Halimbawa:

4 1/3 + 3 2/5 = ?

Ang ating mga whole numbers ay 4 at 3.

Ang ating mga fractions ay 1/3 at 2/5.

Ang numerator ng 1/3 ay 1; 3 naman ang denominator. Ang numerator ng 2/5 ay 2 at ang denominator ay 5.

 

Magkatulad lamang ang mga paraan sa pagdadagdag o pagbabawas ng mixed numbers.

Step 1. Find the Least Common Denominator (LCD). The LCD is The smallest multiple of the denominators of two or more fractions.

Hanapin ang Least Common Denominator. Ang LCD ay ang pinakamaliit na multiple ng mga denominators (ang numero sa ibaba ng praksyon) ng dalawa o higit pang praksyon (hatimbilang).

Ano ang mga multiples ng mga denominator ng ating mga hatimbilang? Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

3 x 1 = 3 ………. 5 x 1 = 5

3 x 2 = 6 ………. 5 x 2 = 10

3 x 3 = 9 ………. 5 x 3 = 15

3 x 4 = 12 ……… 5 x 4 = 20

3 x 5 = 15 ………. 5 x 5 = 25

3 x 6 = 18 …….. 5 x 6 = 30

Base sa itaas, ang LCD o LCM (Least Common Multiple) ng 3 at 5 ay 15.

Step 2. Find the equivalent fractions.

Hanapin ang katumbas na praksyon ng mixed numbers.

Paano hanapin ang kaumbas ng 1/3?  ng 2/5?

Sundin ang step na nasa ibaba:

Ang nakuha nating LCD o LCM na 15 ang magiging bagong denominator ng fractions na 1/3 at 2/5.

Kung gayon,

1/3 = N/15 ………. 2/5 = N/15

Ang value na lang ng numerator (N) na bawat fraction ang ating hahanapin. Paano ito gagawin?

Para makuha ang N, i-DIVIDE lamang ang nakuha nating  LCD o LCM na 15 sa ORIGINAL na DENOMINATOR at I-MULTIPLY ito sa ORIGINAL na NUMERATOR.

Kaya ganito ang mangyayari:

Sa 1/3 ….. (15 ÷ 3) x 1 = 5 x 1 = 5 è ito ang magiging BAGONG NUMERATOR ng ating katumbas na fraction ng 1/3

Sa 2/5 ….. (15 ÷ 5) x 2 = 3 x 2 = 6 è ito ang magiging BAGONG NUMERATOR ng ating katumbas na fraction ng 2/5

Dahil nakuha na natin ang ating bagong numerator, maisusulat na natin ang katumbas na fraction ng original na mga hatimbilang.

Ganito ang mangyayari:

1/3 = 5/15 ……… 2/5 = 6/15

Step 3. Add or subtract the fractions and add or subtract the whole numbers.

Idagdag o Ibawas ang mga praksyon at pagkatapos ay idagdag naman o ibawas ang buong bilang.

Isulat natin ang bagong mga mixed numbers na nakuha natin sa Step 1 – 2.

4 1/3 è 4 5/15

3 2/5 è 3 6/15

Dahil magkapareho na ang ating mga denominator, pwede na tayong mag-ADD ng ating mga mixed numbers. I-ADD ang mga whole numbers at pagkatapos ay ang fractions.

Whole numbers: 4 + 3 = 7

Fractions: 5/15 + 6/15 = 11/15

Pagsamahin ang whole number at fraction. Ang ating magiging sagot ay:

7 11/15

 

Kung naging subraction ang ating operation, ganito ang mangyayari:

4 1/3 – 3 2/5 = ?

 Whole Numbers: 4 – 3 = 1

Fractions:  5/15 – 6/15 = -1/15

Kapag pinagsama, magiging 1 – 1/15. Bale pinagsusubtract uli tayo.

Dapat ay magkapareho ang kanilang denominator para maisagawa ang subtraction.

Ano ba ang katumbas ng 1 kung 15 ang denominator ito?

1 = N/15

Kapag nag-solve tayo;

N = 15, kaya 15 din ang NUMERATOR.

Ang ating magiging FINAL na sagot ay;

1 – 1/15 =  15/15 – 1/15 = 14/15

Kaya ang 4 1/3 – 3 2/5 = 4 5/15 -  3 6/15 =  14/15

Step 4. Write your answer in lowest terms.

Isulat ang iyong sagot sa kanyang pinakamaliit na katumbas.

Dahil ang ating sagot na  7 11/15 para sa addition at 14/15 ay hindi na maaari pang i-divide sa anumang numerong magpapaliit dito, ang ating mga sagot ay nasa lowest term na.

SANA AY MAUNAWAAN.

Kung may tanong, mag-post o magkomento.