Law of Sines or Sine Rules with Sample Problems and Solutions

The Sine Rule, also called the law of sines, is a rule of trigonometry that relates the sides of a triangle and its angle measurements. While most of trigonometry is based on the relationships of right triangles, the law of sines can apply to any triangle, whether or not it has a right angle. 

Ang Sine Rule, na tinatawag ding batas ng sines, ay isang panuntunan ng trigonometry na nauugnay sa mga  gilid ng isang tatsulok at mga pagsukat ng anggulo nito. Habang ang karamihan sa trigonometry ay batay sa mga ugnayan ng mga right triangle, ang batas ng mga sines ay maaaring mailapat sa anumang tatsulok, mayroon man itong right triangle o wala.

• The law of sines is stated as follows:
• ${\displaystyle {\frac {A}{\sin \alpha }}={\frac {B}{\sin \beta }}={\frac {C}{\sin \gamma }}}$

Kung saan ang A, B, at C ay sukat ng gilid ng isang tratsulok, samantalang ang

 , , at  ay ang mga anggulo na katapat (opposite) ng gilid A, B, at C.

Tandaan na ang mga titik o simbolo sa mga gilid at anggulo ay maaaring anuman sa mga letra ng Abakada na Ingles o Griyego o kombinasyon nito. Ang mahalaga ay consistent tayo sa paggamit. Halimbawa, kung ang letra ng gilid ay A (o a), ang katapat na anggulo nito ay a (o A) at pabaliktad. Hindi rin mahalaga kung ang Angle ay nakasulat sa maliit na titik at ang titik ng gilid ay nakasulat sa malaking titik.

• The same rule can be rearranged to yield the following equivalent statements: (Ang Sine Rule ay maaari ring isulat tulad ng nasa ibaba:)
• ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{A}}={\frac {\sin \beta }{B}}={\frac {\sin \gamma }{C}}}$

Kailan Maaaring Gamitin ang Sine Rule?

Ang batas ng sines ay pwedeng gamiting kung:

1. Alam mo ang sukat ng dalawang anggulo at isang sukat ng gilid (2 angles and 1 side), at isa sa anggulo at gilid ay magkapares. Ibig sabihin kung given ang Angle A, dapat ay given din ang side a; kung given ang side C, dapat given din ang Angle C.

2. Alam mo ang sukat ng dalawang gilid at isang sukat ng anggulo (2 sides and one angle), at at isa sa anggulo at gilid ay magkapares. Ibig sabihin kung given ang Side b, dapat ay given din ang Angle B; kung given ang side C, dapat given din ang Angle C.

Hindi maaaring gamitin ang Sine Rule sa mga sumusunod na sitwasyon:

a. Given Side a, Side b at Side c

        Hindi ito maaari dahil kailangan natin ang isang anggulo.

b. Given Angle A, Angle B, at Angle C

        Hindi magagamit dito ang Sine Rule dahil kailangan natin ang sukat ng isang gilid.

c. Given Side a, Side c, at Angle B

        Hindi magagamit ang Sine Rule dito dahil kailangan ang magkapares na gilid at anggulo.

d. Given Angle B, Angle C, at Side a

        Hindi maaaring magamit ang Law of Sines dito dahil walang magkapares na gilid at anggulo.

Sample Problems Using the Law of Sines

1. In a triangle ABC, if a = 2, b = 3 and sin A = 2/3, find Angle B

(If you cannot visualize the problem, it is recommended to draw the figure based on the given.)

Given:   a = 2 ; b = 3; sin A = 2/3

Required: Angle B

Formula:  a/sin A = b/sin B

Substitute the Given to the Formula:

2/ 2/3 = 3/sin b

2 x 3/2 = 3/sin B

6/2 = 3/ sin B

3 = 3/sin B

3 (1/3) = 1/3(3/sin B)

sin B = 1

B = sin^-1 (1) (arc-sin 1)

B = 90 degrees

2. Suppose you are given that side A is 12, angle   is 80 degrees, and angle  is 40 degrees. Find the length of side B.

Given: side A = 12; angle   = 80 degrees; angle   = 40 degrees.

Required: side B

Formula:  A/sin  = B/sin 

Substitution:  12/sin 80 = B/sin 40

B = 12 sin 40 / sin 80

Find the value of sin 40 and sin 80 in the Trigonometric Table or in a Scientific Calculator.

sin 40 =0.6428 (rounded)

sine 80 = 0.9848 (rounded)

B = 12 (0.6428) / 0.9848

B = 7.7136/0.9848

B = 7.833 (rounded)

3. If in any triangle ABC, ∠c = 105˚, ∠B = 45˚, a = 2 then find b. (From https://www.onlinemath4all.com)

Solution :

∠A + ∠B + ∠C = 180˚

∠A + 45˚ + 105˚ = 180˚

∠A = 30˚

a/sin A  = b/sin B = c/sin C

2/sin 30˚ = b/sin 45˚ = c/sin 105

2/(1/2) = b/(1/√2) = c/sin 105

4 = √2b

b = 4/√2 ==> 4√2/2 ==> 2√2

Hence the value of b is 2√2

References:

wikihow.com

Law of Cosines or Cosine Rule with Sample Problems and Answers

As posted in Wikipedia, " in Trigonometry, the law of cosines (also known as the cosine formula, cosine rule, or al-Kashi's theorem) relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles.

Sa paskel sa Wikipedia, "sa Trigonometry, ang batas ng cosines (kilala rin bilang formula ng cosine, panuntunan sa cosine, o theorem ng al-Kashi) ay nauugnay ang haba ng mga gilid ng isang tatsulok sa cosine (adjacent side/hypotenuse) ng isa sa mga anggulo nito.

The law of cosines states: (Ipinapahayag ng batas ng cosines na:)

c² = a² + b² − 2ab cos(C)

kung saan ang C ay ang anggulo na nilalaman sa pagitan ng mga gilid ng haba a at b at sa tapat ng gilid ng haba c. 

The law of cosines generalizes the Pythagorean theorem, which holds only for right triangles: if the angle C is a right angle (of measure 90 degrees, or π/2 radians), then cos C = 0, and thus the law of cosines reduces to the Pythagorean theorem: (Binuod ng batas ng mga cosines ang Pythagorean theorem, na tumpak lamang para sa mga right angles: kung ang anggulo C ay isang right angle (may sukat na 90 degree, o π / 2 radians), ang cos C = 0, at sa gayon ang batas ng cosines ay nagiging sa teorama ng Pythagorean:)

c² = a² + b²

Ang Cosine Rule ay maaari ring isulat na: 

a² = b² + c² − 2bc cos(A)

b² = a² + c² − 2ac cos(B)

Tingnan ang pigura sa ibaba upang maunawaan.

(Image from Calcworkshop.com)

Tiandaan na ang glid (side) na katapat ng Angle A ay a; ang katapat na gilid ng Angle B ay b: at ang katapat na gilid ng Angle C ay c. 

Ang angle o anggulo na nililikha ng gilid a at b ay Angle C; ang anggulo na nililikha ng gilid a at c ay Angle B; at ang anggulo na nililikha ng gilid b at c ay Angle A. Kung aling titik ang wala sa dalawang gilid, iyon ang titik ng anggulo.

Saan ginagamit ang Law of Cosines?

The law of cosines is useful for computing the third side of a triangle when two sides and their enclosed angle are known, and in computing the angles of a triangle if all three sides are known. (Ang batas ng mga cosines ay kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng pangatlong bahagi ng isang tatsulok kapag alam natin ang dalawang gilid at ang kanilang nakapaloob na anggulo, at sa pag-compute ng mga anggulo ng isang tatsulok kung alam ang sukat ng lahat ng tatlong gilid.)

Mga Halimbawa:

1. Alam ang mga sukat ng 2 gilid at ang nilikha nitong anggulo upang hanapin ang sukat ng ikatlong gilid.

a. Find the distance "z". (Hanapin ang distansya o sukat ng "z")

(Image & problem from https://www.mathsisfun.com)

Huwag mababahala sa mga titik na ginamit dahil maaari namang gamitin ang alinman sa mga titik ng Abakada sa magpepresenta ng mga sides at angles. 

Sa halip na a² = b² + c² − 2bc cos(A),

maaari nating gamitin ang==>

z² = x² + y² − 2xy cos(Z)

Ilagay ang mga value o sukat na alam na natin:

Angle Z = 131º

x = 9.4

y = 6.5

z² = 9.4² + 6.5² − 2×9.4×6.5×cos(131º)

Calculate: 

z² = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)

z² = 130.61 + 80.17...                               

z² = 210.78...                                        
z = √210.78... = 14.5 to 1 decimal place   

Answer: z = 14.5


Did you notice that cos(131º) is negative and this changes the last sign in the calculation to + (plus)? The cosine of an obtuse angle is always negative.
(Napansin mo ba na ang cos (131º) ay negatibo at binago nito ang huling sign sa pagkalkula sa + (plus)? Ang cosine ng isang OBTUSE ANGLE (anggulo na ang sukat ay lampas sa 90 degrees subali't hindi aabot sa 180 degrees) ay laging negatibo.)

b. Given the figure below, find a.

(Image and problem from http://www.ultimatemaths.com)

Write what we have known.

Given:  b = 7 cm ; c = 4 cm; Angle A = 42 degrees

Set the equation.

c. Two buoys, A and B, lie 33 meters apart on the sea surface. There is a crab "C" on the seabed. The angle of depression of C from A is 60° and the distance AC is 40 meters.

Calculate the distance BC.

Illustration:

(Image and problem from https://www.mathopolis.com/)

Mga Hakbang:
1. Ilista ang mga sukat na alam na natin o ang mga givens.

Givens: Angle A = 60 degrees; side AC (or side b) = 40 m; side AB (or side c) = 33 m

Required: Find side BC (or side a)

Formula: a² = b² + c² − 2bc cos(A)

Substitute our values to the formula to find a.

a^2 = 40^2 + 33^2 - 2 x 40 x 33 x cos (60 degrees)
a^2 = 1600   + 1089 - 2640 x 0.500
a^2 = 2689 - 1320
a^2 = 1369
a = square root of 1369
a = 37 m


2. Alam ang mga sukat ng 3 gilid upang hanapin ang sukat ng anggulo na nakapaloob sa 2 gilid.

a. Find Angle "C" Using The Law of Cosines (angle version)


(Image & sample problem from https://www.mathsisfun.com)

Steps:
1. List our Givens:

a = 8
b = 6
c = 7

2. Required: the measure of Angle C

3. Formula:  c² = a² + b² − 2ab cos(C)

4. Substitute our givens to the formula.

7^2 = 8^2 + 6^2 - 2 (8)(6) cos C
49 = 64 + 36 - 96 cos C
49 = 100 - 96 cos C
-51 = -96 cos C
-51/-96 = cos C
cos C = 51/96
cos C = 0.53125
C = cos^-1 (0.53125)    
C = 57.9 degrees (to one decimal place)

NOTE: cos^-1 means arc-cos  and NOT 1/cos.

cos^-1 (0.53125) means "What angle has a cos (cosine) value of 0.53125.
We can answer it by looking at the Trigonometric Table of Values or with a Scientific Calculator.

b. The diagram below shows a vertical pole PQ standing on horizontal ground. R and S are points on the ground. PR = 9.5 m, RS = 6 m and PS = 15 m.

Calculate the angle of elevation of P from R.

(Image and sample problem from https://www.mathopolis.com)

Steps:

1. List our Givens:

side PR (or side q) = 9.5 m

side PS (or side r) = 15 m

side RS (or side p) = 6 m

2. Required: Angle of elevation of P from R or Angle PRQ.

To find Angle PRQ, we need to DEDUCT Angle PRS from 180 degrees.

3. Formula:  r^2 = p^2 + s^2 - 2 (p) (s) Cos R

4. Substitute our Givens to the Formula.

15^2 = 6^2 + 9.5^2 - 2(6)(9.5) Cos R (or Angle PRS)

225 = 36 + 90.25 - 114 Cos R

225 = 126.25 - 114 Cos R

-114 Cos R = 225 - 126.25

-114 Cos R = 98.75

Cos R = 98.75/-114

Cos R = -0.86623

R = Cos^-1 (0.86623)

R = 150.0 degrees (to one decimal place)

Angle PRS = 150.0 degrees

5. Angle PRQ = 180 degrees - Angle PRS

Angle PRQ = 180 - 150

Angle PRQ = 30 degrees

c. Find Angle A.

(Image and sample problem from https://www.mathopolis.com)

Steps:

1. List the Givens.

a = 8; b = 5; c = 9

2. Required: Find Angle A

3. Formula: a² = b² + c² − 2bc cos(A)

4. Substitute our Givens to the Formula.

8^2 = 5^2 + 9^2 - 2(5) (9) cos (A)

64 = 25 + 81 - 90 cos (A)

64 = 106 - 90 cos (A)

-90 cos (A) = 64 - 106

-90 cos (A) = -42

cos (A) = -42/-90

cos (A) = 0.46667

A = cos^-1 (0.46667)  (or arc-cos (0.46667)

A = 62.2 degrees (to one decimal place)

Sana ay naunawaan.

How to Compute Compound Interest in Taglish

(Image from https://www.inc.com)

Compound interest is the interest you get on: (Ang compound interest o tambalang interes ay ang interes na makukuha mo sa:)

• the money you initially deposited, called the principal (sa salaping ipinasok mo sa banko, na ang tawag ay principal/prinsipal/kapital/puhunan)

• the interest you've already earned (sa interes na kinita mo na)

Ang pahayag sa itaas ay nauukol sa perang inilagak sa banko. Gayunman, ang padehong kahulugan ay nauukol din sa salaping inutang sa banko o sa kapital na inilaan sa isang investment/pamumuhunan sa isang stock o sapi.

Halimbawa, kung ikaw ay mayroong savings account, ikaw ay kikita ng interes sa iyong perang unang inilagak at kikita ka rin mula sa interes na iyong unang kinita. Ibig sabihin nito, mas malaki ang kikitain mo sa iyong inipon.

 Ito rin ang paliwanag kung ikaw naman ay umutang sa banko sa halip na nagdeposito. Ang unang tubo ng inyong inutang ay tutubo pa rin. Dahil dito, mas malaki ang iyong babayarang utang kaya dapat ay bayaran mo agad ang iyong inutang upang makatipid.

Ang tambalang interes ay kaiba sa simple interest (simpleng interest). Ang simpleng interes ay binabayaran lamang sa prinsipal sa hulihan ng panahon (arawan, buwanan, o taunan).

Paano kuhanin ang tambalang interes?

Gamitin ang pormula sa ibaba upang makuha ang tambalang interes:

A = P x (1 + r)^n

A = ending balance (balanse sa hulihan)

P = starting balance (or principal) (unang balanse o prinsipal)

r = interest rate per period as a decimal (for example, 5% becomes 0.05) (interes kada period sa pormang desimal  (halimbawa, ang 5% ay magiging 0.05)

n = the number of time periods (ang bilang ng period)

Halimbawa:

1. How much P5,000 will earn over three years at an interest rate of 8% per year, compounded monthly? (Magkano ang kikitain ng P5,000 sa loob ng tatlong taon sa interest na 8%, kung ito ay compounded kada buwan?)

Mga Hakbang:

1. Hatiin ang taunang interest na 8% sa 12 (dahil ito ay compounded monthly) at isulat ang nakuhang quotient sa desimal.

8%/12 = 0.08/12 = 0.00666 o 0.0067

2. Kalkulahin ang kabuuang bilang ng time periods (n) o kabuuang bilang ng buwan na kikita ka ng interes

3 taon times 12 buwan/taon =  3 x 12 = 36

3. Gamitin ang pormula ng tambalang interes

A = P x (1 + r)^n

P = 5,000

r = 0.0067

n = 36

A = 5,000 x (1 + 0.0067)^36

A = 5,000 x (1.0067)^36

A = 5,000 x 1.272

A = P6,360

Ang mga hakbang sa itaas ay ganoon din kung loan o utang ang kinakalkula sa halip na deposito.

Kung sa halip na monthly o buwanan na kikita ng interes ang isang savings account (o utang) at ito ay naging quarterly o kada 4 na buwan:

r = 8%/4 = 0.08/4 = 0.02 ( may 4 na quarters sa isang taon)

n = 4 quarters/year x 3 years = 12

Ang magiging balanse sa hulihan ng 3 taon ay:

A = P x (1 + r)^n

A = 5,000 x (1 + 0.02)^12

A = 5,000 x 1.268

A = 6,340

Maaari ring gamitin ang pormula sa ibaba na modipikasyon lamang ng nabanggit sa itaas:

A = P x (1 + r/n)^nt

Kung saan ang n = bilang kung ilan beses magkakaroon ng interest:

n = 12, kung kada buwan ang compound interest

n = 4, kung kada quarter (kada ikaapat na buwan) ang compound interest

t = ang bilang ng taon o maturity period o end of period na kikita ng interest

halimbawa: t = 3, for 3 year-period; t = 5, para sa 5 taon

Note: Ang mga naging sagot sa itaas ay maaaring magkaiba ng +/- P2, depende sa pagra-round ng desimal na ginamit.

(Hinalaw sa https://moneysmart.gov.au/saving/compound-interest)

Understanding PROBABILITY in Taglish

Sa umpisa, maraming mag-aaral ang nahihirapan sa paglutas ng mga Math Problem na kinapapalooban ng Probability o Probabilidad o Posibilidad o Tsansa

(Image from https://en.wikipedia.org)

Bago natin ipagpatuloy ang aralin, alamin muna natin kung ano ang probability.

Ano nga ba ang probability?

Ang posibilidad/probabilidad/tsansa ay isang sukat ng dami  na maaaring maganap ang isang naibigay na kaganapan. Kung ang posibilidad ng isang kaganapan na nangyayari ay sigurado, ito ay bibigyan ng halagang isa  (1). Kung walang posibilidad na mangyari ang isang pangyayari, ang posibilidad ay tatalagahan ng 0 (zero). Ang lahat ng iba pang mga posibilidad ay nasa pagitan ng 0 at 1.

Halimbawa:

A. Isa (1) o 100% Probability (Tiyak na pangyayari)

    1. Kung ngayon ay Linggo, bukas ay Lunes.

    2. Ang susunod sa bilang na 23 ay 24.

 B. Zero (0) Probability (Hindi kailanman mangyayari)

    1. Makakuha ng diploma kung hindi ka naka-enroll.

    2. Manganak na aso ang isang baboy

C. Pagitan ng 0 at 1 Probability (Maaaring mangyari o maganap)

    1. Maghagis ng barya at ang nakatihaya ay "tao" = 50% Probability

    2. Makahugot ng Queen of Heart mula sa isang deck ng baraha = 1/52 o 1.92%

Simple Rules of Probability

Rule # 1: Determining Probability

The probability of any outcome is the ratio of the total number of outcomes corresponding to the event, to the total number of outcomes. (Ang posibilidad ng anumang kinalabasan ay ang ratio ng kabuuang bilang ng mga kinalabasan na naaayon sa kaganapan, sa kabuuang bilang ng mga kinalabasan.)

Specific event / Total number of possible events

Tiyak na kaganapan / Kabuuang bilang ng mga posibleng kaganapan

Halimbawa:

1. What is the probability or likelihood of getting heads in a coin flip. (Ano ang tsansa na "tao" ang nakalitaw kapag naghagis ka ng isang barya?

The specific event (tiyak na kaganapan) ay "tao" ang nakalitaw.

Ang total number of possible events (kabuuang bilang ng mga posibleng kaganapan) ay dalawa ==> "tao" ang nakalitaw at "kalabaw" ang nakalitaw. Dalawa ang total na kaganapan dahil 2 lamang ang mukha ng isang barya.  

The Ratio would look like this:

Getting Heads  (Tao)

Heads or tails  (Tao o Kalabaw)

or

1 specific outcome      1

2 possible outcomes    2

Or one half or 50%. There is equal chance of a getting heads or tails on a coin flip, so the probability of getting heads is one half or 50%.

(Mayroong parehong tsansa na nakalitaw ang "tao" o "kalabaw" kapag naghagis ka ng isang barya o 50% probability.)

Rule # 2: Law of Unions

When we want to know the probability of the occurrence of one of two events.

(Kapag nais nating malaman ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa dalawang mga kaganapan.)

The probability that at least one of two events will occur is the sum of the probabilities of the two events, minus the probability that both events will occur.

(Ang posibilidad na hindi bababa sa isa sa dalawang mga kaganapan ang magaganap ay ang kabuuan ng mga posibilidad ng dalawang mga kaganapan, na binawas ang posibilidad na maganap ang parehong mga kaganapan.)

Sum of the Probability of two events occurring - Probability both events will occur

Kabuuan ng mga posibilidad ng dalawang mga kaganapan -  Ang posibilidad na maganap ang parehong mga kaganapan

Example: Get an Ace or a Heart from a deck of 52 cards. (Makabunot ng Alas o Puso mula sa isang deck ng baraha.)

Kabuuang Bilang ng mga baraha sa isang deck = 52  ( 4 x 13)

Bilang ng Alas = 4 baraha

Bilang ng Puso = 13 baraha

Baraha na Parehong Alas at Puso (Ace of Hearts) = 1

Ang Probabilidad na makabunot ng alas o puso ay:

(4/52 + 13/52) - (1/52) or 17/52 - 1/52 = 16/52 

Rule # 3: Determining probability for Independent Events

When events are independent in space and time, there is a means to determine the probability of the events occurring. (Kapag ang mga kaganapan ay malaya sa espasyo at oras, mayroong isang paraan upang matukoy ang posibilidad ng mga pangyayaring magaganap.)

For independent events, the probability of joint occurrences is equal to the product of the probabilities of the separate events. so, you can multiply their probabilities together and you will get the probability that both events will occur. (Para sa mga independiyenteng kaganapan, ang posibilidad na pareho silang mangyari ay katumbas ng produkto ng mga posibilidad ng magkakahiwalay na mga kaganapan. Kaya, maaari mong i-multiply ang kanilang mga posibilidad na magkasama at makakakuha ka ng posibilidad na maganap ang parehong mga kaganapan.)

Probability of event one x (multiply by) Probability of event two.

Posibilidad ng unang kaganapan x Posibilidad ng ikalawang kaganapan

Example:  Get a Tail on the flip of a coin and roll a 5 on a 6 sided die.

(Makakuha ng "Kalabaw" kapag naghagis ng barya at 5 tuldok ang nasa ibabaw ng isang dice kapag ito ay pinagulong.)

Probabilidad na "Kalabaw" ang nakatihaya = 1/2

Probabilidad na 5 ang nasa ibabaw ng dice = 1/6

Posibilidad na paehong silang magaganap =  1/2 x 1/6 = 1/12 or 0.083 or 8.3%

Rule # 4: Determining Probability for Dependent Events

For dependent events, the probability of joint occurrence is equal to the product of the probability of the first event and the probability of the second event given that the first event has occurred. (Para sa mga kaganapang magkaagabay o nakadepende sa bawa't isa, ang posibilidad ng magkakasamang pagganap ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng unang kaganapan at ang posibilidad ng pangalawang kaganapan, ipagpalagay na ang unang kaganapan ay naganap.)

Example:  There are 12 balls in a bag, 8 red and 4 blue. What is the chance I will pick two red balls out of the bag without seeing them? (Mayroong 12 bola sa isang supot, 8 ang pula ang kulay at 4 ang asul. Ano ang tsansa na makabubunot ako ng dalawang pulang bola mula sa supot nang hindi ko sila sinisilip?)

Posibilidad na pula ang bola sa unang hugot = 8/12

Posibilidad na pula rin ang bola sa ikalawang hugot = 7/11 

Kaya, ang tsansa kong mabunot na parehong pulang bola ang 2 bola na aking hinugot ay  8/12 x 7/11 = 56/132  or 14/33 or 0.424 or 42.4%

This is called Sampling Without Replacement.

If we sample with replacement (kapag ibinalik muli sa supot ang unang bolang hinugot) , then the probability would be 8/12 times 8/12 = 64/144 or 8/18 or 4/9 or 0.444 or 44.4%

(Source at pinagbasehan: http://getpowers.com/probability/) Note: If you want this post remove, please email me.

How to solve the surface area and volume of a cylinder?

Kahit magkapareho ang kahulugan ay magkaiba pa rin ang area sa surface area. (Ang labo, pareho pero hindi). Ang ibig kong sabihin, kadalasan ang area ay natutungkol lang sa mga figures na flat o yong one-dimensional lang  (tulad ng square, rectangle, triangle, square, etc.)–  kadalasan ay length at width lang meron ito. Ang surface area ay natutungkol sa mga geometric figures na 3 dimensional ( o 3D) tulad ng sphere, cylinder, prism, blocks, cubes, etc.

Kapag one-dimensional, IISA lang ang mukha o face ng kukuhanin nating area.  Pero sa 3 dimensional, lahat ng faces ng figure ang kukunin natin kaya tinawag na surface area – ang kabuuang lawak ng kanyang surface o mukhang nasa bukana.

Bago natin isulat ang pagkuha ng surface area ng isang cylinder tulad ng nasa larawan, alamin muna natin ang prinsipyong nakapaloob dito. Ano bang mga area ang kinukuha natin? Bale 3 piraso. Ipaghalimbawa natin na lata ng LIGO ang isang cylinder, ang kukuhanin nating area o lawak ay

1) yong bilog na nakatakip sa LIGO

2) Yong puwitan ng LIGO (na ang sukat ay katulad din ng itaas)

3) Yong pabalat ng LIGO pero ibabawas natin yong overlap, basta yong saktong maglalapat lang ang magkabilang dulo.

Kung gayon ang kinukuha nating area ay 2 BILOG o circle at I PARIHABA  o RECTANGLE.

Ipaghalimbawa natin na ang diameter ng LIGO ay 3 inches at ang taas nito ay 5 inches, what is its surface area?

Alam na natin na ang area ng circle ay pi times radius x radius  OR πr²  . Dapat ay tanda na natin ang formula ng area ng circle… Tandaan lang ito PIE ARE SQUARE === pie = PI ; ARE = Radius ; SQUARE = SQUARED….  π r²

Dahil given na ang value ng PI na 3.14 ( for simple calculation), radius na lang ang kailangan. Paano kukuhanin e wala naman sa given. Makukuha ang radius sa pamamagitan ng diameter dahil ang diameter ay 2 beses ng sukat ng radius. In symbol, d = 2 r. Dahil ang diameter natin ay 3 inches, ibi gsabihin ang radius natin ay 1.5 ( 3/2 = 1.5).

Dahil kumpleto na ang mga value, mako-compute na natin ang area ng circle.

A = π r²

A = (3.14) x (1.5) x (1.5)

A = 7.065  square inches è AREA ng TAKIP

Dahil ang puwitan ng LIGO ay pareho rin ang sukat ng takip, ang area nito ay 7.065 square inches din.

Ang problema na lang natin ay yong PABALAT ng LIGO na hugis rectangle.

Madali naman kunin ang area ng rectangle dahil length times width lang iyon. Kung sa actual, madali talagang kunin dahil susukatin lang natin yong tinanggal nating pabalat.

Kaso sa tunay na test, hindi naman ginagawa iyon. Pinatanggal ko lang ang pabalat para malaman ninyo kung ano ang sinusukat natin.

Sabihin na hindi tinanggal ang pabalat, paano natin masusukat iyon?

Alalahanin na ang perimeter ng circle ay siya ring circumference nito. At ang haba (length) ng pabalat ay katumbas ng circumference ng circle o ng takip o ng puwitan.

Nasusundan ba?

Dahil ang lapad ng rectangle o pabalat ay alam na nating 5 inches, yong circumference na lang ang kailangan nating kunin.

Ano ba ang circumference ng circle?

Simple lang, Circumference = diameter times pi OR  d x pi  OR  pi x 2 x radius  dahil ang diameter ay 2 radius.

Dahil given na ang diameter at alam naman natin ang value ng pi, makukuha na natin ang circumference na siya ring haba ng rectangle o pabalat ng ligo.

Diameter = 3 x 3.14 = 9.42 inches è length ng rectangle.

Heto na ang mga sukat natin ng rectangle o  pabalat:

Width = 5 inches

Length = 9.42 inches

Area ng pabalat o rectangle = 5 x 9.42 = 47.10 square inches

Dahil nakuha na natin ang 3 area na kailangan natin, alam natin ang surface area ng ating cylinder na may diameter na 3 inches at may taas na 5 inches.

Surface Area of cylinder = (Area of top circle) + (Area of bottom circle) +( Circumference x height )(Pabalat )

Surface area = 7.065 + 7.065 + 47.10 = 61.23 square inches.

Ano ngayon ang formula ng surface area base sa ating nakuhang mga sukat.

Surface area = π r² +  π r²  +  2πrh

Surface area = 2(πr²) + 2πrh ..(where π is pie = 3.14 ; r= radius; h=height)

Para madaling matandaan:

Surface area of cylinder = 2 x ( area of circle) + (circumference x height)

Paano naman i-compute ang volume ng isang cylinder?

Simple lamang itong gawin, tandaan at unawain lamang ang pormula sa ibaba:

Volume of cylinder = π

r^

2

h    or 

V

=

π

r^

2

h

Kung saan, r = radius; h = height (taas ng cylinder)

Kung susuriin ang pormula, makikita natin na ang 

π

r^

2 ay ang area ng circle (o area ng takip ng LIGO sa ating halimbawa sa itaas).

Kung gayon, makukuha natin ang volume ng cylinder sa pamamagitan ng pagmu-

multiply ng area ng circle at ang taas ng cylinder:

Volume = area of circle times height ==> V = area x height

Sa ating nakuhang value sa itaas, ang volume ng ating cylinder ay:

V = 7.065 x 5 = 35.325 cubic inches or in.^3

Sana ay naunawaan.        

Arithmetic Progression (Sequence/Series)

Arithmetic Progression (Sequence/Series)

Paano malalaman kung Arithmetic Progression ang isang sequence o series?

A. Ang isang sequence o series ay Arithmetic kung NAGDADAGDAG (ADDITION) o NAGBABAWAS (SUBTRACTION) ka ng MAGKAPAREHONG bilang o numero sa sinusundang term ng isang series o sequence.

Halimbawa:

1) 4   9  14  19  24  29  34 ...

Ang nasa itaas ay Arithmetic Progression dahil NAGDADAGDAG tayo sa tuwina ng 5 sa sumusunod na term.

2)  52  39  26  13  0  -13 -26 ...

Ang nasa itaas ay Arithmetic Progression dahil NAGBABAWAS tayo sa tuwina ng 13 sa sumusunod na term.

 

B. Paano malalaman ang susunod na term sa isang Arithmetic Progression (Sequence o Series)?

Kunin lamang ang difference ng sinusundang term sa naunang term. Kapag sila ay MAGKAPAREHO, malalaman na natin ang susunod na term.

Example 1) 3  7  11  15  19  23  ___?

Finding the difference:

7 – 3 = 4

11 – 7 = 4

15 – 11 = 4

19 – 15 = 4

23 – 19 = 4

 

Mula sa itaas ay makikita nating nagdadagdag na 4 sa sinundang term upang makuha ang susunod na term. Kung gayon ang susunod sa 23 ay 24 + 4 = 27

 

Sa pangkalahatan, narito ang Formula upang makuha ang anumang term sa anumang Arithmetic Progression. 

 

Tn  =  a  + (n – 1)d

Where Tn = the term we need to find; a = the first term in the series; and d = the difference between the next term and the preceding term.

 

In this context, we need to find d first to find the Tn.

If we follow the formula in our example,

Tn = a + (n-1) d

We already knew that d = 4 as per our calculation, a = 3, n is the number of term from 3 to the missing. If we count, we can see that n = 7. We are looking the 7^th term in the series.

 

(Sa kontekstong ito, kailangan nating hanapin muna ang d upang makita ang Tn.

Kung susundin natin ang pormula sa ating halimbawa,

Tn = a + (n-1) d

Alam na natin na ang d = 4 ayon sa ating pagkalkula, a = 3, n ay ang bilang ng term mula 3 hanggang sa nawawalang term. Kung bibilangin natin, makikita natin na n = 7. Hinahanap namin ang ika-7 term sa serye.)

 

T7 = 3 + ( 7-1) 4

T7 = 3 + (6)4

T7 = 3 + 24

T7 = 27 ==> the same number if we do it manually.

 

Use this formula : Tn =  a + (n-1)d    to find the nth term of an Arithmetic Progression.

 

Example 2)  Find the 10^th term of the Arithmetic Progression  1, 3.5, 6, 8.5, ...

 

Step 1: Find the difference

3.5 – 1 = 2.5

6 – 3.5 = 2.5

8.5 – 6 = 2.5

d = 2.5

 

Step 2: Use the formula

Tn = a + (n-1)d

 

Since we are looking for the 10^th term, the formula becomes...

T10 = a + (n-1)d

Substitute the value of a, n, and d in the equation.

T10 = 1 + (10-1)2.5

T10 = 1 + (9)2.5

T10 = 1 + 22.50

T10 = 23.50

Therefore, the 10^th term is 23.50

Solving the Perimeter and Area of Common Geometric Shapes

Bago natin matutunan kung paanong mag-solve ng perimeter (buong gilid) at area o lawak/sukat ng isang hugis, dapat muna nating malaman kung anu-ano ang katangian ng mga hugis na ito.

A. SQUARE (Parisukat) - ito ay isang hugis kung saan ang mga sides o gilid ay makakapareho ang sukat. Matatawag din isang uri ng rhombus ang square.

B. RECTANGLE (Parihaba) - isang hugis kung saan ang magkatapat na gilid ay magkapareho ang sukat. Ito ay isang uri ng parallelogram kung saan ang apat na sulok ay may angle na 90 degrees.

C. CIRCLE  / ROUND (Bilog)  - isang hugis na walang sulok at gilid.

Parts of a circle / Mga Bahagi ng Bilog

(Image from https://www.aplustopper.com/parts-of-the-circle/)

D. TRIANGLE (Tatsulok) - isang hugis na may tatlong sulok. Ang mga gilid ay maaaring magkakapareho ang sukat o hindi.

E. PARALLELOGRAM (Parallelogram)  - isang patag na hugis na may kasalungat (opposite) na mga gilid na parallel at pantay ang haba. Ang mga halimbawa ng parallelogram ay parisukat (square), parihaba (rectangle) at rhombus (nasa ibaba ang anyo). Dapat tandaan na ang rhombus, tulad ng parisukat, ay mayroong magkakaparehong sukat ng mga gilid.

How to compute for the perimeter and area of a shape? 

PAANO KUNIN ANG PERIMETER at LAWAK NG ISANG HUGIS?

A. SQUARE 

        Para makuha ang perimeter ng isang parisukat, kunin lamang ang haba ng isang gilid nito at i-multiply sa 4.

Halimbawa:

If the side of a square is 5 inches, what is its perimeter?

Perimeter = 5 x 4 = 20 inches.

        Kung kukunin naman ang area, i-multiply lamang ang sukat ng isang gilid ng dalawang beses.

    Halimbawa:

A square table has a side of 4 feet. Compute its area.

Area = 4 x 4 = 16 square feet (sq. ft. of ft^2)

B. RECTANGLE 

        Makukuha ang perimeter ng isang parihaba sa pamamagitan ng pag-add ng lahat ng sukat ng mga gilid nito. Dahil magkapareho ang sukat ng 2 dalawang maikling gilid  (width) at magkapareho rin ang sukat ng mahabang gilid (length), maaarng sundin ang formuang ito:

Perimeter = 2a + 2b ==> kung saan ang a = maikling gilid; b = mahabang gilid.

Halimbawa:

Find the perimeter of a rectangle whose short side is 6 cm. and long side is 9 cm.

Perimeter = 2(6) + 2(9) = 12 + 18 = 30 cm.

Upang makuha naman ang area ng isang rectangle, i-multiply lamang ang maikling gilid sa mahabang gilid (width x length).

Halimbawa:

A rectangle lot measures 20 x 35 meters. Find its area.

Area = 20 x 35 = 700 square meters (sq. m.)

C. CIRCLE

Ang perimeter ng bilog ay ang circumference (sirkumperensya) nito. Upang makuha nito, gamitin ang formulang ito:

Circumference = 

2

π

r ,

k

ung saan ang

π (pi) ay may katumbas na 3.1416 o 3,14 at ang r ay ang radius ng bilog.

Halimbawa:

Compute for the circumference (perimeter) of a round table whose radius is 2 feet.

C = 

2

π

r ==>

2 (2) (3.14) = 12.56 feet

Para naman makuha ang area ng isang circle, gamitin ang formulang ito:

Area of circle : 

A

=

π

r^

2     I-multiply lamang ang pi sa square radius o radius x radius.

Halimbawa:

A round table has 30 cm. radius. Find its area.

A

=

π

r^

2 ==> 3.14 x 30 x 30  = 2,826 square cm.

D. TRIANGLE

Upang makuha ang perimeter ng tatsulok, i-add lamang ang sukat ng 3 gilid nito.

Halimbawa:

The sides of a triangle measures 3, 4, and 5 inches. Compute its perimeter.

Perimeter of a triangle = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 inches

Para naman makuha ang area ng trianle, gamitin ang formulang ito:

Area of triangle = 1/2 b h, kung saan ang b ay sukat ng base at h ay sukat ng height o taas nito.

Halimbawa:

If a triangle has a base of 10 cm and a height of 14 inches, then its area is _______.

Area = 1/2 b h ==> 1/2 (10) (14) = 70 sq. cm.

E. PARALLELOGRAM 

Sa pagkuha ng perimeter ng isang rhombus, i-add lamang ang lahat ng gilid nito. Nguni't dahil magkakapareho naman ang sukat ng mga gilid nito, i-multiply ang gilid sa 4.

Halimbawa:

A rhombus has a side of 6 cm. What is its perimeter?

Perimeter = 4s ==> 4 x 6 = 24 cm

Sa pagkuha ng area ng rhombus, kunin lamang ang taas (H) (tulad ng nasa larawan sa itaas) at i-multiply ito sa sukat ng side (b)o gilid.

Halimbawa:

Find the area of a rhombus whose side is 5 inches and height of 7 inches.

Area of rhombus = b H ==> 5 x 7 = 25 square inches

=================================

Ang ipinaliwanag sa itaas ay konsepto sa pagkuha ng perimeter at area ng mga karaniwang hugis. Sa aktuwal na pagsusulit, nililito muna ang mga mag-aaral pero kung alam mo ang hinihingi ng problema, madali mo itong masasagutan.